基本介紹
- 書名：有限元方法基本原理
- 作者：O.C.Zienkiewica
- 出版社：清華大學出版社
- 頁數：656頁
- 開本：16
- 定價：79.00
- 外文名：The Finite Element Method (5th ed) The Basis Volume 1
- 類型：計算數學
- 出版日期：2008年7月1日
- 語種：簡體中文
- ISBN：9787302165514
- 品牌：清華大學出版社
基本介紹,內容簡介,作者簡介,圖書目錄,文摘,
基本介紹
內容簡介
《有限元方法基本原理(第1卷)(第5版)》是有限元方法最早的出版物，第1版誕生於1967年，歷經前後5版的不斷更新，從結構、固體擴展到流體，從一卷本擴展到三卷本，凝聚了《有限元方法基本原理(第1卷)(第5版)》作者近40年的研究成果，薈萃了近千篇文獻的精華，培養了全世界幾代計算力學的師生和工程師，成為有限元方法的經典名著。《有限元方法基本原理(第1卷)(第5版)》可作為高年級本科生和研究生的課程學習參考書，也是從事有限元研究的科研人員和工程技術人員的重要學習文獻。
本卷為三卷本中的第1卷——基本原理，涵蓋了有限元分析的一些基礎領域，覆蓋了線上性問題內容中有限元近似的基本方面，同時也涉足了一些有限元分析的前沿內容。本卷共20章，內容廣泛，既強調有限元的數學力學原理，又結合工程實際背景。本卷的主要特點是：
強調物理和工程問題的數學力學描述和有限元列式
涉及幾乎所有的主要工程領域（結構、熱傳導、電磁場、耦合問題等）
完整描述各種類型單元（標準、升階譜、無限和奇異單元等）
系統論述有限元分析的一些前沿問題（雜交方法、誤差控制、無格線原理等）
對於希望進一步了解有關非線性固體力學有限元分析的讀者，請閱讀《有限元方法基本原理(第1卷)(第5版)》的第2卷——固體力學；對於希望進一步了解有關流體力學有限元分析的讀者，請閱讀《有限元方法基本原理(第1卷)(第5版)》的第3卷——流體力學。
本卷為三卷本中的第1卷——基本原理，涵蓋了有限元分析的一些基礎領域，覆蓋了線上性問題內容中有限元近似的基本方面，同時也涉足了一些有限元分析的前沿內容。本卷共20章，內容廣泛，既強調有限元的數學力學原理，又結合工程實際背景。本卷的主要特點是：
強調物理和工程問題的數學力學描述和有限元列式
涉及幾乎所有的主要工程領域（結構、熱傳導、電磁場、耦合問題等）
完整描述各種類型單元（標準、升階譜、無限和奇異單元等）
系統論述有限元分析的一些前沿問題（雜交方法、誤差控制、無格線原理等）
對於希望進一步了解有關非線性固體力學有限元分析的讀者，請閱讀《有限元方法基本原理(第1卷)(第5版)》的第2卷——固體力學；對於希望進一步了解有關流體力學有限元分析的讀者，請閱讀《有限元方法基本原理(第1卷)(第5版)》的第3卷——流體力學。
作者簡介
O.C.Zienkiewicz教授，英國Swansea大學的榮譽退休教授，是該校工程數值方法研究所的原主任，現在仍然是西班牙巴塞隆納Calalunya技術大學工程數值方法的UNESCO主席。從1961至1989年，擔任Swansea大學土木工程系的主任，使該系成為有限元研究的重要中心之一。在1968年，創辦了International Journal for NumericalMethods in Engineering雜誌並任主編，該雜誌至今仍然是該領域的主要刊物。他被授予24個榮譽學位和多種獎勵。Zienkiewicz教授還是5所科學院的院士，這是對他在有限元方法領域的奠基性發展和貢獻的讚譽。1978年，成為皇家科學院和皇家工程院的院士；並先後被選為美國工程院的外籍院士（1981），波蘭科學院院士（1985），中國科學院院士（1998）和義大利國家科學院院士（1999）。1967年，他出版了本書的第1版，直到1971年，本書的第1版仍然是該領域的惟一書籍。
圖書目錄
譯者序Ⅰ
英文版前言（第1卷）Ⅲ
1 預備知識： 標準的離散系統
1.1 引言
1.2 結構單元和結構系統
1.3 結構的組裝和分析
1.4 邊界條件
1.5 電流和流體網路
1.6 一般流程
1.7 標準離散系統
1.8 坐標變換
參考文獻
2 彈性問題的直接解法
2.1 引言
2.2 有限單元特徵的直接表達
2.3 對整個區域進行規範化——不採用內部節點力
2.4 基於最小勢能原理的位移方法
2.5 收斂準則
2.6 離散誤差和收斂速度
2.7 單元之間的不連續位移函式——非協調單元和拼片試驗
2.8 位移列式中應變能的下限性質
2.9 直接求最小值
2.10 一個例子
2.11 小結
參考文獻
3 有限元的基本概念： Galerkin（伽遼金）加權殘值法和變分方法
3.1 引言
3.2 與微分方程等效的積分或弱形式表達
3.3 近似積分公式： 加權殘值Galerkin方法
3.4 固體和流體平衡方程“弱形式”的虛功原理
3.5 針對變數的部分離散
3.6 收斂性
3.7 什麼是變分原理
3.8 “自然”變分原理以及與控制微分方程的關係
3.9 針對線性、自伴隨微分方程的自然變分原理
3.10 最大、最小和鞍點
3.11帶約束的變分原理： 拉格朗日乘子和自伴隨函式
3.12 約束變分原理： 罰函式法和最小二乘法
3.13 小結：有限差分和邊界元方法
參考文獻
4 平面應力和平面應變
4.1 引言
4.2 單元特徵
4.3 算例——計算性能的評估
4.4 一些實際套用
4.5 不可壓縮材料的平面應變特殊處理
4.6 小結
參考文獻
5 軸對稱應力分析
5.1 引言
5.2 單元特徵
5.3 一些典型算例
5.4 早期的實際套用
5.5 非對稱性載荷
5.6 軸對稱——平面應變和平面應力
參考文獻
6 三維應力分析
6.1 引言
6.2 四面體單元的特徵
6.3 節點複合單元
6.4 算例和結束語
參考文獻
7穩態場問題——熱傳導、電磁勢、流體等
7.1 引言
7.2 一般的準調和方程
7.3 有限元離散
7.4 一些特殊的處理
7.5 算例——精度估計
7.6 一些實際套用
7.7 小結
參考文獻
8 標準單元和升階譜單元的形狀函式——C0連續的單元族
8.1 引言
8.2 標準形狀函式和升階譜形狀函式的概念
8.3 矩形單元概論
8.4 完全多項式
8.5 矩形單元——拉格朗日族
8.6 矩形單元——Serendipity族
8.7 裝配前消去內部變數——子結構
8.8 三角形單元族
8.9 線單元
8.10六面體單元——拉格朗日族
8.11六面體單元——Serendipity族
8.12 四面體單元
8.13 其他的簡單三維單元
8.14 一維升階譜多項式
8.15 二維矩形和三維六面體升階譜單元
8.16 三角形和四面體升階譜單元
8.17 全局和局部的有限元逼近
8.18 升階譜單元對條件數的改善
8.19 小結
參考文獻
9 映射單元和數值積分——“無限”和“奇異”單元
9.1 引言
9.2 坐標變換中的“形狀函式”
9.3 單元的幾何一致性
9.4 曲邊單元中未知函式的變化，連續性要求
9.5 單元剛度矩陣的計算（ξ,μ，ζ坐標下的變換）
9.6 單元剛度矩陣、面坐標和體坐標
9.7 曲線坐標下單元的收斂
9.8 數值積分： 一維
9.9 數值積分： 矩形區間（二維）或正稜柱區間（三維）
9.10 數值積分： 三角形或四面體區域
9.11數值積分的階次
9.12 通過映射和混合函式構造有限元格線
9.13 無限區域和無限單元
9.14 斷裂問題中的奇異單元
9.15 數值積分單元的計算優勢
9.16 二維應力分析的一些實例
9.17 三維應力問題
9.18 對稱性及重複性
參考文獻
10 拼片試驗、縮減積分和非協調單元
10.1 引言
10.2 收斂性要求
10.3 簡單的拼片試驗（試驗A和B）： 收斂的必要條件
10.4 廣義拼片試驗（試驗C）及單個單元測試
10.5 數值拼片試驗的通用性
10.6 高階拼片試驗
10.7 基於標準及縮減積分的平面彈性單元的拼片試驗
10.8 拼片試驗在非協調單元中的使用
10.9 滿足拼片試驗的非協調形狀函式的構造
10.10 弱拼片試驗算例
10.11 高階拼片試驗——計算穩健性的評估
10.12 小結
參考文獻
11 混合列式和約束方程——全域法
11.1 引言
11.2 混合形式的離散——一般過程
11.3 混合列式的穩定性： 分片試驗
11.4 彈性問題中的二場混合列式
11.5 彈性問題中的三場混合列式
11.6 混合近似的疊代法求解
11.7 直接約束的余能形式
11.8 小結： 混合列式或單元穩健性試驗
參考文獻
12 不可壓縮材料、混合法及其他求解方法
12.1 引言
12.2 應力和應變偏量、壓力和體積變化
12.3 二場不可壓縮彈性問題（up形式）
12.4 近不可壓縮彈性體的三場形式（upεv）
12.5 縮簡和選擇積分及其與罰混合形式的等價性
12.6 混合問題的簡單疊代求解過程： Uzawa法
12.7 針對未通過不可壓縮拼片試驗的混合型單元的穩定方法
12.8 小結
參考文獻
13 混合列式及約束——非完整（雜交）場方法、邊界/Trefftz方法
13.1 引言
13.2 兩個（或多個）具有不可約形式變數區域之間的界面力
13.3 兩個或多個具有混合變數區域之間的界面力
13.4 界面的位移“框架”
13.5 基於位移“框架”，採用邊界型解答進行連線
13.6 帶有常規單元的子區域及整體函式
13.7 拉格朗日變數或非連續的Galerkin方法
13.8 小結
參考文獻
14 誤差、修複方法和誤差估計
14.1 誤差的定義
14.2 超收斂和最佳取樣點
14.3 計算結果的梯度和應力的修復
14.4 超級收斂的拼片修復法——SPR
14.5 通過拼片平衡的修復——REP
14.6 修復的誤差估計
14.7 另一類誤差估計方法——基於殘差的方法
14.8 誤差估計的漸近性和穩健性——Babuka拼片試驗
14.9 何種誤差值得關注
參考文獻
15 自適應有限單元細化
15.1 引言
15.2 一些自適應h細化方法的例子
15.3 p細化和hp細化方法
15.4 小結
參考文獻
16 基於點的近似： 無格線Galerkin方法以及其他無格線方法
16.1 引言
16.2 函式的逼近
16.3 移動最小二乘近似——逼近中連續性的修復
16.4 移動最小二乘的升階譜展開
16.5 配點法——有限點方法
16.6 Galerkin加權和有限體積方法
16.7 採用標準有限單元的升階譜函式和特殊的函式
16.8 小結
參考文獻
17 時間維——場的半離散化、動力學問題和解析求解
17.1 引言
17.2 基於空間有限單元處理時間相關問題的直接列式
17.3 一般分類
17.4 自由回響——二階問題和動力振動的特徵值
17.5 自由回響——一階問題的特徵值和熱傳導等
17.6 自由回響——帶阻尼的動力學特徵值
17.7 受迫周期回響
17.8 瞬態回響的分析
17.9 對稱性和重複性
參考文獻
18 時間維問題的離散近似
18.1 引言
18.2 一階方程的簡單時間步算法
18.3 一階和二階方程的一般單步算法
18.4 多步遞推算法
18.5 關於數值方法一般性能的評論
18.6 時間不連續的Galerkin近似
18.7 小結
參考文獻
1 9耦合系統
19.1 耦合問題的定義和分類
19.2 流固相互作用（第一類問題）
19.3 土壤孔隙流體的相互作用（第二類問題）
19.4 分區的單相系統——隱式顯式分區（第一類問題）
19.5 交替求解過程
參考文獻
20 有限元分析的計算機實現
20.1 引言
20.2 數據輸入模組
20.3 數組的記憶體管理
20.4 求解模組——命令程式語言
20.5 有限元求解模組的計算
20.6 聯立線性方程組的求解
20.7 FEAPpv程式的擴展和修改
參考文獻
附錄A 矩陣代數
附錄B 彈性問題近似分析中的張量標記符號
附錄C 基於位移分析的基本方程（第2章）
附錄D 三角形的一些積分公式
附錄E 四面體的一些積分公式
附錄F 矢量代數基礎
附錄G 二維或三維空間的分部積分（Green定理）
附錄H 節點處的求解精度
附錄I 矩陣的對角化或集中
中文索引
英文索引
英文版前言（第1卷）Ⅲ
1 預備知識： 標準的離散系統
1.1 引言
1.2 結構單元和結構系統
1.3 結構的組裝和分析
1.4 邊界條件
1.5 電流和流體網路
1.6 一般流程
1.7 標準離散系統
1.8 坐標變換
參考文獻
2 彈性問題的直接解法
2.1 引言
2.2 有限單元特徵的直接表達
2.3 對整個區域進行規範化——不採用內部節點力
2.4 基於最小勢能原理的位移方法
2.5 收斂準則
2.6 離散誤差和收斂速度
2.7 單元之間的不連續位移函式——非協調單元和拼片試驗
2.8 位移列式中應變能的下限性質
2.9 直接求最小值
2.10 一個例子
2.11 小結
參考文獻
3 有限元的基本概念： Galerkin（伽遼金）加權殘值法和變分方法
3.1 引言
3.2 與微分方程等效的積分或弱形式表達
3.3 近似積分公式： 加權殘值Galerkin方法
3.4 固體和流體平衡方程“弱形式”的虛功原理
3.5 針對變數的部分離散
3.6 收斂性
3.7 什麼是變分原理
3.8 “自然”變分原理以及與控制微分方程的關係
3.9 針對線性、自伴隨微分方程的自然變分原理
3.10 最大、最小和鞍點
3.11帶約束的變分原理： 拉格朗日乘子和自伴隨函式
3.12 約束變分原理： 罰函式法和最小二乘法
3.13 小結：有限差分和邊界元方法
參考文獻
4 平面應力和平面應變
4.1 引言
4.2 單元特徵
4.3 算例——計算性能的評估
4.4 一些實際套用
4.5 不可壓縮材料的平面應變特殊處理
4.6 小結
參考文獻
5 軸對稱應力分析
5.1 引言
5.2 單元特徵
5.3 一些典型算例
5.4 早期的實際套用
5.5 非對稱性載荷
5.6 軸對稱——平面應變和平面應力
參考文獻
6 三維應力分析
6.1 引言
6.2 四面體單元的特徵
6.3 節點複合單元
6.4 算例和結束語
參考文獻
7穩態場問題——熱傳導、電磁勢、流體等
7.1 引言
7.2 一般的準調和方程
7.3 有限元離散
7.4 一些特殊的處理
7.5 算例——精度估計
7.6 一些實際套用
7.7 小結
參考文獻
8 標準單元和升階譜單元的形狀函式——C0連續的單元族
8.1 引言
8.2 標準形狀函式和升階譜形狀函式的概念
8.3 矩形單元概論
8.4 完全多項式
8.5 矩形單元——拉格朗日族
8.6 矩形單元——Serendipity族
8.7 裝配前消去內部變數——子結構
8.8 三角形單元族
8.9 線單元
8.10六面體單元——拉格朗日族
8.11六面體單元——Serendipity族
8.12 四面體單元
8.13 其他的簡單三維單元
8.14 一維升階譜多項式
8.15 二維矩形和三維六面體升階譜單元
8.16 三角形和四面體升階譜單元
8.17 全局和局部的有限元逼近
8.18 升階譜單元對條件數的改善
8.19 小結
參考文獻
9 映射單元和數值積分——“無限”和“奇異”單元
9.1 引言
9.2 坐標變換中的“形狀函式”
9.3 單元的幾何一致性
9.4 曲邊單元中未知函式的變化，連續性要求
9.5 單元剛度矩陣的計算（ξ,μ，ζ坐標下的變換）
9.6 單元剛度矩陣、面坐標和體坐標
9.7 曲線坐標下單元的收斂
9.8 數值積分： 一維
9.9 數值積分： 矩形區間（二維）或正稜柱區間（三維）
9.10 數值積分： 三角形或四面體區域
9.11數值積分的階次
9.12 通過映射和混合函式構造有限元格線
9.13 無限區域和無限單元
9.14 斷裂問題中的奇異單元
9.15 數值積分單元的計算優勢
9.16 二維應力分析的一些實例
9.17 三維應力問題
9.18 對稱性及重複性
參考文獻
10 拼片試驗、縮減積分和非協調單元
10.1 引言
10.2 收斂性要求
10.3 簡單的拼片試驗（試驗A和B）： 收斂的必要條件
10.4 廣義拼片試驗（試驗C）及單個單元測試
10.5 數值拼片試驗的通用性
10.6 高階拼片試驗
10.7 基於標準及縮減積分的平面彈性單元的拼片試驗
10.8 拼片試驗在非協調單元中的使用
10.9 滿足拼片試驗的非協調形狀函式的構造
10.10 弱拼片試驗算例
10.11 高階拼片試驗——計算穩健性的評估
10.12 小結
參考文獻
11 混合列式和約束方程——全域法
11.1 引言
11.2 混合形式的離散——一般過程
11.3 混合列式的穩定性： 分片試驗
11.4 彈性問題中的二場混合列式
11.5 彈性問題中的三場混合列式
11.6 混合近似的疊代法求解
11.7 直接約束的余能形式
11.8 小結： 混合列式或單元穩健性試驗
參考文獻
12 不可壓縮材料、混合法及其他求解方法
12.1 引言
12.2 應力和應變偏量、壓力和體積變化
12.3 二場不可壓縮彈性問題（up形式）
12.4 近不可壓縮彈性體的三場形式（upεv）
12.5 縮簡和選擇積分及其與罰混合形式的等價性
12.6 混合問題的簡單疊代求解過程： Uzawa法
12.7 針對未通過不可壓縮拼片試驗的混合型單元的穩定方法
12.8 小結
參考文獻
13 混合列式及約束——非完整（雜交）場方法、邊界/Trefftz方法
13.1 引言
13.2 兩個（或多個）具有不可約形式變數區域之間的界面力
13.3 兩個或多個具有混合變數區域之間的界面力
13.4 界面的位移“框架”
13.5 基於位移“框架”，採用邊界型解答進行連線
13.6 帶有常規單元的子區域及整體函式
13.7 拉格朗日變數或非連續的Galerkin方法
13.8 小結
參考文獻
14 誤差、修複方法和誤差估計
14.1 誤差的定義
14.2 超收斂和最佳取樣點
14.3 計算結果的梯度和應力的修復
14.4 超級收斂的拼片修復法——SPR
14.5 通過拼片平衡的修復——REP
14.6 修復的誤差估計
14.7 另一類誤差估計方法——基於殘差的方法
14.8 誤差估計的漸近性和穩健性——Babuka拼片試驗
14.9 何種誤差值得關注
參考文獻
15 自適應有限單元細化
15.1 引言
15.2 一些自適應h細化方法的例子
15.3 p細化和hp細化方法
15.4 小結
參考文獻
16 基於點的近似： 無格線Galerkin方法以及其他無格線方法
16.1 引言
16.2 函式的逼近
16.3 移動最小二乘近似——逼近中連續性的修復
16.4 移動最小二乘的升階譜展開
16.5 配點法——有限點方法
16.6 Galerkin加權和有限體積方法
16.7 採用標準有限單元的升階譜函式和特殊的函式
16.8 小結
參考文獻
17 時間維——場的半離散化、動力學問題和解析求解
17.1 引言
17.2 基於空間有限單元處理時間相關問題的直接列式
17.3 一般分類
17.4 自由回響——二階問題和動力振動的特徵值
17.5 自由回響——一階問題的特徵值和熱傳導等
17.6 自由回響——帶阻尼的動力學特徵值
17.7 受迫周期回響
17.8 瞬態回響的分析
17.9 對稱性和重複性
參考文獻
18 時間維問題的離散近似
18.1 引言
18.2 一階方程的簡單時間步算法
18.3 一階和二階方程的一般單步算法
18.4 多步遞推算法
18.5 關於數值方法一般性能的評論
18.6 時間不連續的Galerkin近似
18.7 小結
參考文獻
1 9耦合系統
19.1 耦合問題的定義和分類
19.2 流固相互作用（第一類問題）
19.3 土壤孔隙流體的相互作用（第二類問題）
19.4 分區的單相系統——隱式顯式分區（第一類問題）
19.5 交替求解過程
參考文獻
20 有限元分析的計算機實現
20.1 引言
20.2 數據輸入模組
20.3 數組的記憶體管理
20.4 求解模組——命令程式語言
20.5 有限元求解模組的計算
20.6 聯立線性方程組的求解
20.7 FEAPpv程式的擴展和修改
參考文獻
附錄A 矩陣代數
附錄B 彈性問題近似分析中的張量標記符號
附錄C 基於位移分析的基本方程（第2章）
附錄D 三角形的一些積分公式
附錄E 四面體的一些積分公式
附錄F 矢量代數基礎
附錄G 二維或三維空間的分部積分（Green定理）
附錄H 節點處的求解精度
附錄I 矩陣的對角化或集中
中文索引
英文索引
文摘
1 預備知識：標準的離散系統
1.1 引言
由於人類思維的局限，使得人們無法將複雜的宇宙萬物只用簡單的表達來概括。因此，人們會將複雜的系統分解成為一個個部件或“單元”，而這些部件或“單元”已被大家所熟悉，再用這些部件來重構原始系統，從而分析整個系統的行為，這種非常自然的分析方法已被工程師、科學家，甚至經濟學家廣泛採用。
在很多情況下，一個適當的模型可以採用有限個已有明確定義的部件來描述，我們稱該過程為離散（discrete）。若將離散細分的過程無限地繼續下去，則只能用數學上所虛構的無窮小的概念來進行描述，這將產生一組微分方程組，或者包含具有無限個單元的等效方程，我們將這類問題稱為連續（continuous）系統。
隨著計算機的出現，即使是對於單元數目非常大的離散問題，也普遍能夠進行求解。但由於計算機的容量總是有限的，因此連續問題只有用解析的方法才能精確求解，但現有的解析方法具有局限性，通常只能分析十分簡單的問題。
為克服處理實際連續問題的困難，工程師和數學家不斷地提出各種離散方法（discretization methods），所有這些方法都希望當離散變數數目增加時，所對應近似解的極限將接近於真實解。
數學家和工程師採用不同的方法對連續問題進行離散化。數學家們提出了可以直接針對微分方程進行處理的通用方法，例如有限差分法、各種加權殘值法，或者通過定義合適的泛函式並對其取極值的近似方法。另一方面，工程師們通常將實際離散單元和連續區域中的單個小塊進行直觀的類比，來處理連續問題。例如，在固體力學領域，McHenry、Hrenikoff、Newmark和Southwell在20世紀40年代就提出，可以採用一系列簡單彈性桿件來代替一小部分連續體，獲得了彈性連續問題的合理解答。
1.1 引言
由於人類思維的局限，使得人們無法將複雜的宇宙萬物只用簡單的表達來概括。因此，人們會將複雜的系統分解成為一個個部件或“單元”，而這些部件或“單元”已被大家所熟悉，再用這些部件來重構原始系統，從而分析整個系統的行為，這種非常自然的分析方法已被工程師、科學家，甚至經濟學家廣泛採用。
在很多情況下，一個適當的模型可以採用有限個已有明確定義的部件來描述，我們稱該過程為離散（discrete）。若將離散細分的過程無限地繼續下去，則只能用數學上所虛構的無窮小的概念來進行描述，這將產生一組微分方程組，或者包含具有無限個單元的等效方程，我們將這類問題稱為連續（continuous）系統。
隨著計算機的出現，即使是對於單元數目非常大的離散問題，也普遍能夠進行求解。但由於計算機的容量總是有限的，因此連續問題只有用解析的方法才能精確求解，但現有的解析方法具有局限性，通常只能分析十分簡單的問題。
為克服處理實際連續問題的困難，工程師和數學家不斷地提出各種離散方法（discretization methods），所有這些方法都希望當離散變數數目增加時，所對應近似解的極限將接近於真實解。
數學家和工程師採用不同的方法對連續問題進行離散化。數學家們提出了可以直接針對微分方程進行處理的通用方法，例如有限差分法、各種加權殘值法，或者通過定義合適的泛函式並對其取極值的近似方法。另一方面，工程師們通常將實際離散單元和連續區域中的單個小塊進行直觀的類比，來處理連續問題。例如，在固體力學領域，McHenry、Hrenikoff、Newmark和Southwell在20世紀40年代就提出，可以採用一系列簡單彈性桿件來代替一小部分連續體，獲得了彈性連續問題的合理解答。
