復變數

如果複數是一個變數，則稱為復變數。一個復變數s有一個實部α、一個虛部ω，即s=α+jω。它可以用s複平面上的一個點來表示。

基本介紹

• 中文名：復變數
• 外文名：complex variable
• 所屬學科：數理科學
• 表達式：s=α+jω
• 相關概念：複數、複平面、複變函數等

定義

設 與 為兩任意實數，以 表示 ，則式子 叫做複數。如以兩個實變數 與 分別代替 與 ，則所得式子 就叫做復變數，並記作s(即令 )。若 ，則 ，此時復變數變為實變數，所以實變數是復變數的特殊情形。 叫做復變數s的實部，記作 ， 叫做復變數s的虛部，記作 ，即 。

表示方法

復變數(以下簡稱複數) 有以下幾種表示法：

坐標(點)表示法

由於任一複數 與一對實變數 成一一對應關係，所以可以用直角坐標( )表示之。反之，在平面上建立直角坐標系後，每一個點都可以表示為複數。因此，在複數域中 平面又叫做複平面或s平面。 軸叫做實軸， 軸叫做虛軸。例如圖1所示為s平面，平面上任一點 可由坐標 和 來確定。或者記作 。

圖1 坐標表示法

圖2 向量表示法

向量表示法

複數s還可用從原點指向點( )的向量來表示，如圖2所示。向量的長度OP稱為s的模或絕對值，記作

向量 與實軸的夾角 稱為s的輻角，記作 。

關於輻角 要注意下列關係：

時，在第一象限； 時，在第二象限；

時，在第三象限； 時，在第四象限。

三角表示法和指數表示法

利用直角坐標與極坐標的關係

複數s可以表示為： 這就是複數的三角表示法。

利用歐拉公式： ，可以得到： ，這種形式稱為複數的指數表示法。根據討論問題的需要，可以把複數從一種表示形式轉換為另一種表示形式。

乘積定理

兩個複數乘積的模等於它們的模的乘積；兩個複數乘積的輻角等於它們輻角的和。

根據這個定理，可以說乘積 的向量是從因子 的向量旋轉一個角度 (即 )，並伸長(縮短)到 倍得到的。如圖3所示。特別，當 =1時，乘法變成了只是旋轉。例如 相當於將 逆時針旋轉90°， 相當於將s順時針旋轉90°。

如果用指數形式表示複數

則乘積定理可以簡明地表示為

商定理

兩個複數的商的模等於它們的模的商；兩個複數的商的輻角等於被除數與除數的輻角之差。若

則商定理可以簡明地表示為