復微分幾何中的幾個問題

《復微分幾何中的幾個問題》是依託浙江大學，由鄭方陽擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：復微分幾何中的幾個問題
• 依託單位：浙江大學
• 項目負責人：鄭方陽
• 項目類別：面上項目

項目摘要

我們希望研究復幾何中的以下三個子方向：（一）非正曲率的緊凱勒流形的陳數所必須滿足的一組不等式。我們根據二維時的情形提出了關於任意維數的猜測，並希望研究三維時的情形。陳數地理分布的問題一直是復幾何和代數幾何中的一個難題，我們希望通過對三維特殊情形的研究推進這方面的進展。（二）關於廣義Hartshorne猜測的微分幾何的探討。這是復幾何中的一個傳統問題，我們的出發點是圍繞近年來比較熱門的一個幾何條件，　即所謂的二次雙截曲率非負的條件。已經發現的事實是，這個條件被大部分（但不是全部）齊性凱勒流形所滿足，因而成為第一個能容納非對稱空間的條件。之前的雙截曲率或垂直雙截曲率的非負性都被證實只能用來刻畫對稱空間。（三）關於小余維的實凱勒子流形的結構性和凱勒延拓的研究。歐氏空間中的子流形幾何學通常都是研究實的性情，復的情形研究很少。我們發現，這方面實際上有大量的問題可提可做，在這裡我們提出了幾個典型問題。

結題摘要

本課題屬於基礎數學中微分幾何領域的研究，主要圍繞著有關複流形的有關課題。 複流形是數學中普遍關注的研究對象，在代數幾何，拓撲學，大範圍分析，多復變， 以及數學物理中都被實質性地涉及。我們主要從微分幾何的角度出發， 關注給定的複流形上能有什麼樣的最佳厄米度量存在。在本項基金的資助下，我們獲得了三項研究成果， 其一是得到余維不超過4 的實凱勒子空間的結構定理， 將1990年代的結構性定理從余維1和2的情形推廣到了余維3和4的情形； 其二是得到了實凱勒子空間的一個柱面定理； 其三是系統性地研究了兩類特殊的厄米度量： 其黎曼曲率或陳曲率具有凱勒曲率的所有對稱性。 我們分別稱之為 “G-凱勒似的” 或 “凱勒似的”。當流形為緊時， 這兩種情形都是平衡度量。這幾項研究都具有原創性， 在實凱勒流形和非凱勒流形的研究上具有國際前沿性， 我們相信其將對這兩個子方向的進一步發展起到推動作用。