復微分幾何中的核心問題之一是凱勒-愛因斯坦度（Kähler-Einstein）度量的存在性問題，阿爾法不變數是判斷法諾(Fano-)上凱勒-愛因斯坦度量存在性的重要工具
基本介紹
- 中文名：阿爾法不變數
- 外文名：α-不變數
- 所屬學科：數學、復幾何
釋義,原理,
釋義
定義復微分幾何中的核心問題之一是Kähler-Einstein度量，簡稱為KE度量，的存在性問題。上世紀70年代中期，丘成桐證明了第一陳類為零時KE度量的存在性，丘成桐和T. Aubin分別獨立證明了第一陳類負定時KE度量的存在性。留下的是研究Fano流形上（即第一陳類正定時）Kähler-Einstein度量的存在性問題。第一陳類正的情形比其他兩個情形困難得多，這是因為Fano流形上KE度量的存在有障礙。1957年，Matsushima通過研究KE度量的拉普拉斯運算元的特徵函式，證明了存在KE度量的Fano流形的全純向量場的李代數必須是約化的。1983年，日本數學家Futaki引進了一個全純不變數----Futaki-不變數，並證明如果KE度量存在那么Futaki-不變數為零。通過這些工作，可以找到許多不具有KE度量的Fano流形。KE度量的唯一性由兩位日本數學家Bando和Mabuchi在1986年證明了。但Fano流形上KE度量存在性問題長期未有進展，甚至到上世紀80年化中期，人們還不知具有KE度量且沒有非零全純向量場的Fano流形的任何例子。1987年，田剛進了α-不變數並用它給出了存在 KE度量的一個充分條件。通過計算α-不變數，他從而構造出一系列具有KE度量且沒有非零全純向量場的Fano流形。在隨後的研究中, 田剛和丘成桐證明了大量的Fano曲面都存在KE度量。1990年，田剛利用α-不變數以及他發展的部分-估計這一新工具求解復 Monge-Ampère方程，證明了Fano曲面上KE度量存在性等價於全純向量場的李代數是約化的，從而完整地解決了Fano曲面上KE度量的存在性問題。
原理
給定 Kähler形式
, 定義規範化Kähler-位勢空間為
,1987 年, 田剛引入了下述 α- 不變數:
