基本介紹
- 中文名：幾何格
- 外文名：geometric lattice
- 領域：代數學中的格論
- 別名：基元格、半模格
- 意義：一種組合構形
- 相關詞：半模格
格與格論,偏序集,幾何格的定義,半模格,
格與格論
格是有著廣泛套用的一類偏序集。它是具有兩個二元運算的代數系。設L是偏序集，若L的任兩個元素均有上確界及下確界，則稱L為格，記為(L;≤)，簡記為L.a，b∈L，{a，b}的上、下確界分別記為a∨b(即sup{a，b})及a∧b(即inf{a，b})。格亦可用恆等式來定義，它是由戴德金(Dedekind，J.W.R.)給出的。若代數系L有兩個代數運算∧，∨，且對任意a，b，c∈L，滿足下列恆等式：
L1 | a∧a=a，a∨a=a; | (冪等律) |
L2 | a∧b=b∧a，a∨b=b∨a; | (交換律) |
L3 | a∧(b∧c)=(a∧b)∧c， | |
a∨(b∨c)=(a∨b)∨c; | (結合律) | |
L4 | a∧(a∨b)=a，a∨(a∧b)=a; | (吸收律) |
則稱L為格，記為(L;∧，∨)，簡記為格L。上述兩種定義是等價的。1951年，索金(Sorkin，Ju.I.)用僅含三個變數的四個恆等式刻畫了格；1972年，沛德邁耐罕(Padmanabhan，R.)發現可用僅含三個變數的兩個恆等式刻畫格，但不能用少於三個變數的兩個恆等式刻畫格。19世紀末，皮爾斯(Peirce，C.S.)和施洛德(Schro¨der，F.W.K.E.)在研究布爾代數的公理化以及戴德金研究代數數的理想時獨立地提出了格的概念；1897年，戴德金首先對格進行了研究。在20世紀30年代中期，伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)的著作開始了格論的全面發展，他的一系列文章展示了格論的重要性，並使格論成為代數學的一門重要分支。
偏序集
偏序集是一種特定的集。它是一類主要的序關係集。具體地說，集合E連同其上的偏序R構成的關係集(E，R)，一般記為P=(E，≤)。所謂偏序(或序關係)是一類具有自反性、反對稱性和傳遞性的二元關係。例如，數之間的不大於關係，自然數之間的整除關係，集合之間的包容關係等。把集合E的基數稱為偏序集P的階。階為有限值的偏序集稱為有限偏序集。而在P上，對於任意元素x，y，區間[x，y]均為有限偏序集時，稱P為局部有限偏序集。這兩類偏序集是組合理論中的主要研究對象。偏序集上所有鏈的長度的最小上界，或上確界，稱為偏序集的長度，記為l(P)。偏序集中最大反鏈包含的元素數目，稱為偏序集的寬度，記w(p)。對於以右圖為哈塞圖的偏序集P，有l(P)=3，w(P)=2.偏序集的子關係集仍為偏序集，而且必有全序集作為其子關係集。
幾何格的定義
幾何格(geometric lattice)一種組合構形。它是滿足下述條件1的有限半模格。條件1：格的每個元素均可表示為基元的結運算。而滿足條件1的格，亦稱為基元格或點格。簡言之，幾何格既是半模格，又是基元格。在幾何格里，可按不同秩的平集相應地引入‘基本的幾何概念。例如，把秩為1的平集稱為點，秩為2的平集稱為線，秩為3的平集稱為面等。而當空集必的閉集可非空時，其中的元素稱為自環。當元素a和b與閉集a和b相同時，則稱a和b為相互平行元素。
幾何格和組合幾何的關聯極為密切。設A為幾何格L的基元集，A的子集X為某組合幾何Gr,(A)的平集，若且唯若L有元素x，使得X={a∈A}a≤x}。而組合幾何VL(A)的秩函式可以由格L的高度函式h來定義：r(X)=h(V X)，這裡：
VX=ai1, V ai2 V…V aik , X={ai1，ai2，...，aik}。
因此，組合幾何的有關概念均可以等價地用幾何格的語言表述。例如，幾何格基元素{x},x2,"..}xn}是獨立的，若且唯若h<x,Vx2V "'Vx>,)=n。另一方面，組合幾何G的所有平集組成的格L(G)為幾何格，其基元是G中秩為1的平集。因此，幾何格是組合幾何的基本理論工具。幾何格的每個區間[a,b]仍是幾何格，且幾何格在直積下仍為幾何格。在幾何格中，基元的等遠性為等價關係。
半模格
半模格是指可以用維函式刻畫的一類重要格。設L是有限長格，若L滿足條件：
(ξ)：若a≠b，且a，b都覆蓋a∧b，則a∨b覆蓋a和b，
則稱L為上半模格.若L滿足條件：
(ξ′)：若a≠b，且a∨b覆蓋a和b，則a，b都覆蓋a∧b，
則稱L為下半模格，其中a，b∈L.通常將上半模格和下半模格統稱半模格。更一般地，若L是格，則L是半模格的充分必要條件是，對任意a，b∈L，由aMb得bMa；對偶地，L是下半模格的充分必要條件是對任意a，b∈L，由aMb得bMa.伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)首先考慮了半模格;迪爾沃思(Dilworth，R.P.)證明：每一個有限格一定與一個半模格的某一子格同構.若L是有限長的格，對任意a，b，c∈L，則下述條件等價：
1.L是上半模格。
2.b覆蓋a，有b∨c覆蓋a∨c或b∨c=a∨c。
3.h[a]+h[b]≥h[a∧b]+h[a∨b]，其中h[x]是高函式。
