幾何問題幾何化及計算穩定性研究

《幾何問題幾何化及計算穩定性研究》是依託上海交通大學，由何援軍擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：幾何問題幾何化及計算穩定性研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：何援軍
• 依託單位：上海交通大學

項目摘要

審視了數百年來的幾何代數化之路，認為這無意的削弱了幾何的作用範圍，掩蓋了幾何的自然屬性。一般地，幾何涉及的是空間問題，從空間概念形象地去審視問題，而代數涉及的是時間的操作，採用線性、有序的方式去處理問題，代數計算時本質上不會再思考其含義。本研究認為應該順其自然，回歸幾何，幾何問題可以由幾何方法解決。首先，引入幾何基，一個幾何基對應於一個最基本的幾何操作，如兩直線求交。可以通過組合幾何基的各種序列去解決幾何問題，而不訴諸於大量的代數方程，也不追求解的顯式表示，這改變了計算方式和方法的表述。其次，對幾何及其屬性、交點等引入幾何數，這是對幾何、代數、物理、計算機及畫法幾何概念的一個綜合，本質上反映了計算機0/1概念的真諦。通過對幾何數的簡單運算判定幾何奇異的類型，解決之。由此探索一個幾何奇異問題的完整解決方案，建立統一，規範的幾何計算體系，以實現Leibniz幾何計算能否直接處理幾何的綱領。

結題摘要

審視了數百年來的幾何代數化之路，Descartes解析幾何學的核心思想是使得幾何間的計算也能用代數的形式實現，是一種將幾何思考轉化為代數運算的嘗試，這無疑是對幾何的一個重大貢獻。 事情總有兩個方面，它的發展使得代數基本上取代了經典幾何的地位，這可能掩蓋了幾何的某些自然屬性，也會無意的削弱幾何的作用範圍。 本研究認為幾何及幾何計算是不應該全部被代數化的，在討論幾何計算的時候，應該全面套用數學（幾何與代數）、工程（畫法幾何）、計算機（算法）等的理論——以“幾何問題幾何化”作為它的命題。 提出了一種新的幾何計算理論。引入“幾何基”，在幾何基礎層，充分利用笛卡兒創立的坐標幾何思想，用幾何代數化方法構建二、三維基本的幾何代數基（簡稱幾何基），可利用它的序列建立高一層次的幾何基。在幾何處理層，用幾何方法解決幾何問題，尋求幾何問題的幾何基求解序列，用“幾何基的序列”表述解的結果，更新解的表述方式，便於解的表述與交流。 引入“幾何數”。對幾何引入方向性，統一幾何的表示，簡化幾何基序列之求解過程。用幾何數輔助幾何計算，簡化求解過程，特別是在幾何層面上考慮幾何奇異問題，通過對幾何數的簡單運算，解決之。 從理論上探索解決幾何奇異問題的完整解決方案，形成一個統一、規範的幾何計算體系。由此迂迴實現萊布尼茨式的通過幾何語言直接處理幾何體的宏偉構想。