點群

晶體中所含有的全部巨觀對稱元素至少交於一點，這些匯聚於一點的全部對稱元素的各種組合稱為晶體的點群（point group），或稱為對稱類型。

數學分析證明，前述旋轉及旋轉一反演對稱操作所可能有的三維空間點群共有32種。在分析中考慮了晶體結構周期性重複的制約。當晶體具有一個以上的對稱元素時，這些對稱元素一定會通過一個公共點，相應的對稱操作都屬於點操作。這種對稱操作的數學分析是數學中群論的一個分支，所以稱為點群。每一種晶體的巨觀對稱性必須屬於32種點群中的一種。

基本介紹

• 中文名：點群
• 外文名：point group
• 術語來源：固體物理學，晶體化學
• 概念來源：對稱要素，對稱操作群
• 別稱：對稱型
• 實質：全部對稱要素的組合

點群定義

見晶體的對稱性。

在固體物理中，點群與晶類（crystal class）有等同的含義。

點群與兩個概念有關：對稱要素，對稱操作群

對稱操作群：由物體的對稱操作構成的群。

對稱操作：物體在正交變換（保持兩點間距離不變的幾何操作，如旋轉，反伸，反映）下不變，則該變換為物體的對稱操作。

群：數學概念，集合和其上的一種運算構成一個群。群要求滿足封閉性，存在單位元素，存在逆元素，滿足該運算的結合律；簡單說群是按照某種規律相互聯繫著的一組元素的集合。群的元素可以是字母、數字等，在晶體對稱理論中，群的元素是對稱操作。

對稱要素

對稱要素包括對稱中心、對稱軸、對稱面、旋轉反伸軸和旋轉反映軸。對稱要素可用普通符號、國際符號和Schoenflies 符號三種方式表示。可以證明，晶體中對稱要素共有8種。分別是1，2，3，4，6 ，m，i，-4（這裡用國際符號表示，準晶中還可以出現其他對稱要素）。

對稱軸：對稱軸是一根假象直線，n重旋轉軸是指若物體繞某軸轉2π/n 及2π/n的整數倍，物體不變，則該軸為物體的n重旋轉軸。

普通符號
國際符號	n
Schoenflies 符號

對稱面：對稱面是一個假象的平面，相應的對稱操作為對於此平面的反映。它將圖形平分為互為鏡像的兩個相等部分。

普通符號	P
國際符號	m

對稱中心：對稱中心是一個假象的點，相應的對稱操作是對此點的反伸（或稱倒反）。如果通過此點作任意直線，則在此直線上距對稱中心等距離的兩端，必定可以找到對應點。

普通符號	C
國際符號	i

旋轉反伸軸：旋轉反伸軸是一根假象直線，若物體對某軸作轉2π/n 加上中心反伸的聯合操作，及聯合操作的倍數，物體不變，則該軸為物體的n重旋轉反伸軸。

普通符號
國際符號	-n

其中，除了外，其餘各種旋轉反伸軸都可以用其它簡單的對稱要素或它們的組合來代替，期間關係如下：

旋轉反映軸：旋轉反映軸是一根假象直線，若物體對某軸作轉2π/n 加上對垂直它的一個平面進行反映的聯合操作，及聯合操作的倍數，物體不變，則該軸為物體的n重旋轉反伸軸。

普通符號
國際符號	~n
Schoenflies 符號

對稱要素的組合

在結晶多面體中，可以有一個對稱要素單獨存在，也可以有若干個對稱要素組合在一起共存。

對稱要素組合服從如下規律：

1）如果有一個二次軸垂直n次軸，則必有n個垂直與，即x→n。

2）如果有一個對稱面P垂直偶次軸（n為偶數），則在其交點存在對稱中心C，即xP→PC。

3）如果有一個對稱面P包含對稱軸，則必有n個P包含，即xP→nP。

4）如果有一個二次軸垂直與旋轉反伸軸，或者有一個對稱面P包含，當n為奇數時必有n垂直和n個對稱面包含，即x→nnP，xP→nnP；當n為偶數時必有n/2個垂直和n/2個P包含，即x→n/2n/2P，xP→n/2n/2P。

點群介紹

對稱性是晶體的一個共性，結晶多面體中，全部對稱要素的組合，稱為該結晶多面體的點群（也稱對成型）。

根據晶體的特徵對稱元素所進行分類。

晶體可分為7大晶系：三斜晶系、單斜晶系、正交（斜方）晶系、四方晶系、六角（六方）晶系、三角（三方）晶系、立方晶系；

14種Bravais(布拉維)格子：簡單三斜、簡單單斜、底心單斜、簡單正交、底心正交、體心正交、面心正交、三角、簡單四方、體心四方、六角、簡單立方、體心立方、面心立方；

32個晶類（點群）：C₁、C_i、C₂、C_s、C2h、D₂、D_2v、D_2h、C₃、C_3i、D₃、C_3v、D_3d、C₄、C_4h、D₄、C_4v、D_4h、S₄、D_2d、C₆、C_6h、D₆、C_3v、D_6h、C_3h、D_2h、T、T_h、T_d、O、O_h（這裡用 Schoenflies 符號表示，還可以用國際符號表示，請參考相關書目） 。

比如正方體有48個對稱操作：

沿著立方軸轉π/2,π，3π/2，有3個立方軸，共9種

沿著面對角線轉π，有6條面對角線，共6種

沿著體對角線轉2π/3，4π/3，有4條體對角線，共8種

不動算1種，共9+6+8+1=24種。

這24種轉動加上中心反演也有24種，故共48種，記為Oh，其中24種純轉動記為O。

有了點群的劃分，我們就可以表示任何一種晶體具體的結構對稱性。點群的國際符號一般由三位組成，分別表示三個特定方向上的對稱元素，不同晶系中三個方向的選取自然不同。如鈦酸鋇的六方晶系就可表示為6/mmm 。由於很多內容在這裡因沒有相應的編輯器，敘述不便，更多的內容也看可以參考書目。

準晶點群

1984年在AlMn合金的透射電子顯微鏡的研究中首次發現了五次對稱軸；其顆粒的點群為m-3-5.在其結構中配位多面體是長程有序的，但沒有平移周期，即不具有格子構造。這類物質陸續發現，它們被認為是介於非晶態和結晶態之間的一中新物態——準晶態。

在五次軸的準晶之後，繼而又有十次軸準晶的研究。從而推導出的新點群如下：

等軸晶系：m-3-5 ；235

五方晶系：5 ；-5 ；5m ；-5m ；52

十方晶系：10 ；-10 ；10m ；-10m ；10，2 ；10/m ；10/mmm