《對流擴散最優控制問題的有限元算法研究》是依託山東師範大學，由周兆傑擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：對流擴散最優控制問題的有限元算法研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：周兆傑
- 依託單位：山東師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
對流擴散最優控制模型在空氣污染、污水處理等工程問題中有著廣泛的套用，本項目旨在研究在上述問題中有重要套用背景的控制為逐點分布和狀態受限的對流擴散最優控制問題。在這些問題中，狀態方程的對流占優特性使得狀態和伴隨狀態具有梯度變化劇烈的內部層或邊界層，控制的逐點分布和狀態受限則導致狀態和伴隨狀態具有較低的正則性，這些性質給數值求解造成了極大的困難。關於這些問題的數值求解，一直為計算數學界與工程界所廣泛關注。本項目將針對此類問題的特殊性，建立間斷有限元和連續內罰有限元離散格式，運用凸分析、正則化、Green函式、對偶論證及Bubble函式等技術建立控制和狀態的先驗及後驗誤差估計，設計半光滑牛頓算法和自適應算法，對模型進行試算，驗證理論分析的正確性和算法的有效性。本項目的研究有助於人們更科學、準確地模擬空氣污染、污水處理等工程問題，深入了解這些問題的機理和形態，對這些問題的解決具有積極而重要的意義。
結題摘要
由對流擴散方程刻畫的最優控制模型在空氣污染、污水處理等工程問題中有著重要的套用，本項目的研究工作為這些工程問題的解決提供了科學理論依據，具有重要的理論價值和套用前景。 自項目實施以來，我們根據項目工作計畫，積極查閱文獻資料，借鑑國內外相關研究成果，圍繞幾類最優控制模型開展了深入研究工作。首先，針對狀態變數具有邊界層或內部層，解的正則性低，建立了求解對流擴散最優控制問題的連續內罰有限元法、間斷有限元法離散格式，運用凸分析、對偶論證、橢圓重構等技術分析了控制變數、狀態變數的殘量型後驗誤差估計，基於投影梯度等最佳化算法設計了自適應算法，通過算例驗證了算法的有效性。其次，對狀態受限的對流擴散最優控制問題採用Morea-Yosida和Larentiev正則化方法，建立了求解正則化問題的邊界穩定化有限元離散格式，運用凸分析、對偶論證等技術分析了狀態變數、控制變數的殘量型後驗誤差估計。最後，研究了一類反常擴散最優控制問題和一類拋物方程狄利克雷邊界控制問題的有限元逼近，建立了有限元離散格式，建立了控制變數和狀態變數的先驗誤差估計，通過數值算例驗證了理論分析的正確性。項目執行期間，項目組在Computers and Mathematics with Applications、International Journal of Computer Mathematics、Journal of Scientific Computing等國內外重要刊物上發表論文8篇，培養研究生4人，獲得山東省自然科學基金省屬高校優秀青年人才聯合基金1項。
