《偏微分方程最優控制問題的預處理算法研究》是依託華東師範大學，由潘建瑜擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：偏微分方程最優控制問題的預處理算法研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：潘建瑜
- 依託單位：華東師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
偏微分方程約束最優控制問題在工業、醫藥、經濟等領域中有著廣泛的套用背景,關於這類問題的數值方法研究受到越來越多的關注，已成為當前科學計算領域的一個非常活躍的研究課題。對該問題進行數值求解時，我們需要求解一個大規模的線性方程組。如何高效地求解這類大規模線性方程組是求解最優控制問題的最關鍵部分之一。本項目主要研究這類線性方程組的高效預處理疊代算法，擬研究內容具體如下：（1）針對對流擴散方程最優控制問題，基於係數矩陣的特殊結構，討論和構造不同離散方法所得到的線性方程組的預處理方法。（2）針對橢圓方程最優控制問題，討論和構造收斂效果既不受格線步長影響，也不受正則化參數影響的預處理算法。（3）研究非穩態的偏微分方程最優控制問題的預處理算法。（4）探索三維問題的數值計算與並行算法。
結題摘要
帶偏微分方程約束的最優控制問題經過適當的方法離散後，通常需要求解一個大規模的結構線性方程組。（1）我們考慮了對流擴散方程最優控制問題。採用先離散後最佳化的處理方法，我們研究了近似塊對角和近似塊三角預處理子的構造及其性質，並進行了數值測試。同時，我們也考慮了先最佳化後離散策略，提出了基於 Schilder不完全分解的預處理方法。（2）我們考慮了一類加權最小二乘問題的數值求解方法。結合矩陣分裂技巧和交替方向疊代思想，我們提出了一類帶參數的矩陣分裂預處理方法，不僅在理論上給出了預處理後係數矩陣的特徵值分布情況，還給出了近似最優參數的選取方法，大大提高了預處理方法的實用性。數值結果表明，新提出的預處理方法有著非常好的加速效果。（3）我們考慮了分數階擴散方程的預處理算法。針對穩態問題，我們提出了一類縮放循環預處理子，並證明了預處理子與原係數矩陣之間相差一個低秩矩陣與小範數矩陣之和，數值結果表明，新提出的預處理方法對一維和二維問題都非常有效。同時，我們也考慮了非穩態情形，基於問題的特殊結構和線性插值技術，我們構造出了一類逆近似預處理子，並結合循環矩陣近似和快速傅立葉變換，有效地提高了方法的執行效率，同時在理論上證明了預處理後係數矩陣特徵值的聚集性，這說明預處理方法具有最優性。數值算例也表明，新提出的預處理方法非常有效。（4）我們研究了張量的特徵值計算。針對對稱張量的H特徵值問題，我們提出了帶位移的冪疊代方法，在理論上證明了算法的局部收斂性，並詳細刻畫了哪些H特徵值能被找到，哪些不能被找到。
