《電磁場渦流問題中結構化線性方程組的預處理方法》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由任志茹擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：電磁場渦流問題中結構化線性方程組的預處理方法
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：任志茹
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
大規模結構化線性方程組的求解來源於科學與工程計算的眾多領域。例如：流體力學中Navier-Stokes方程，電磁學中的時諧渦流模型和偏微分方程最優控制問題等等，經過數值離散後都轉化為結構化線性方程組的求解。由此類問題離散所得到的矩陣通常是大型稀疏的，且具有一定的結構，因此對結構化線性方程組預處理疊代法的研究有著廣泛的套用背景和重要的理論意義。本課題將對來源於電磁場渦流問題中的結構化線性方程組，利用其係數矩陣的特殊結構構造有效的預處理子，並結合分裂疊代法或Krylov子空間方法探索相應的預處理技術，從而為這些結構化線性方程組設計高效的數值算法。首先，基於這些係數矩陣的分塊結構，我們對其對稱性、正定性以及特徵信息進行理論分析；然後利用這些矩陣的特殊結構和具體性質來構造有效的預處理子，設計相應的算法，並通過程式對算法進行實現。此外，期望從理論上分析預處理後矩陣的特徵值範圍以及算法的收斂性。
結題摘要
本項目研究了結構化線性方程組的預處理疊代方法及其在電磁場渦流問題中的套用。由於電磁場中時諧渦流模型經過有限元離散後可以得到一個鞍點型的線性方程組，因此我們重點研究了廣義鞍點問題的預處理疊代法，並取得了以下兩個方面的主要成果。一方面，對於復對稱不定的線性方程組轉化所得到的分塊2x2結構的線性方程組，我們分別提出了預處理修正的HSS疊代法及其兩個變形和不精確旋轉的塊三角預處理子，這些疊代法和預處理子可以高效求解復對稱不定的線性方程組。另一方面，對於一般的廣義鞍點問題，我們分別提出了簡化的HSS預處理子，交替半正定分裂預處理子和廣義位移分裂預處理子，並分析了這些預處理矩陣的特徵值的性質。特別地，我們給出了簡化HSS預處理鞍點矩陣的特徵值和特徵向量的分布；證明了交替半正定分裂疊代法套用於電磁場渦流問題離散所得到的鞍點問題上是無條件收斂的，並給出了一個實用的參數估計值；詳細分析了廣義位移分裂預處理鞍點矩陣的實特徵值以及復特徵值的範圍。數值算例驗證了以上這些預處理子在求解廣義鞍點問題時優於已有的方法，並解決了一些理論問題和實際套用問題，因此具有重要的理論價值和現實意義。
