《帶複雜凸約束偏微分方程最優控制的算法分析》是依託武漢大學，由呂錫亮擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：帶複雜凸約束偏微分方程最優控制的算法分析
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：呂錫亮
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
偏微分方程最優控制問題在石油，化工，航空航天等行業都有著廣泛的套用。這個項目中主要考慮控制變數或者狀態變數逐點帶有複雜凸約束的橢圓型偏微分方程組最優控制問題。這是一個帶有無窮多約束的最佳化問題，同時每個點的約束條件可能包含比較複雜的幾何結構，如何找到高效的數值算法是一個很大的挑戰。全局上看，因為約束的數目可能多於變數的個數，導致拉格朗日乘子耦合在一起，一般的對偶方法不能直接套用。而狀態變數的逐點約束會導致對偶問題的低正則性，一般來說拉格朗日乘子只是一個Radon測度，需要找到一個合適的正則化方法來解決低正則化帶來的困難。針對以上提出的一些問題，本項目擬採用半光滑牛頓法對於控制變數約束，狀態變數約束，控制變數和狀態變數同時存在約束等各種不同的情況提出高效率的算法，給出相關的理論分析和實際的數值模擬並將此算法套用至不可壓縮流體Navier-Stokes方程最優控制等實際問題中。
結題摘要
此項目研究了帶一般控制約束的偏微分方程最優控制問題的牛頓型算法，並將其套用於微分方程參數識別，稀疏反演等相關領域中。主要成果包括：當控制變數帶有歐幾里得約束或者多邊形約束時，構造半光滑牛頓法並證明其算法的局部超線性收斂；橢圓運算元最小特徵值最佳化問題的有限元近似以及交替方向算法的收斂性分析；橢圓方程Robin係數反問題在最優控制框架下的牛頓型算法；稀疏正則化問題的原始對偶積極集方法（特殊情況時等價於半光滑牛頓法）以及其全局收斂性分析。通過這個項目的探索，我們初步得出結論：牛頓型算法配合恰當的全局化技巧對於最優控制問題以及參數識別問題是精確而且高效的，我們將試圖在以後的工作中對此進一步展開研究。
