偏微分方程約束最優控制問題的區域分解算法

《偏微分方程約束最優控制問題的區域分解算法》是依託華東師範大學，由羊丹平擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：偏微分方程約束最優控制問題的區域分解算法
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：羊丹平
• 依託單位：華東師範大學

項目摘要

本項目研究偏微分方程約束的最優控制問題的區域分解算法。偏微分方程約束的最優控制問題出現在科學與技術的許多重要領域。此類問題的複雜性和高維特徵對於相關的數值方法提出了巨大的挑戰，這些特點通常需要特別的疊代算法、預條件技術和並行技術。求解大規模問題的根本有效途徑是高性能和高效的並行計算。適用於偏微分方程的區域分解算法及其相關的收斂性分析並不能直接用於偏微分方程約束的最優控制問題，在算法設計和理論分析各方面都出現了許多新的問題和困難。美、德、法等國的科學家提出了不同的並行算法，研究集中於控制和狀態無約束問題，僅證明了算法的收斂性，無收斂速度的分析結果。本項目的創新點：分析已有算法的收斂速度，提出新的區域分解算法，如具有最優計算量的梯度投影-區域分解型算法、具有較好收斂速度的非重疊型區域分解算法、時間依賴偏微分方程約束的最優控制問題的區域分解算法、控制和狀態受限問題的區域分解算法等。

結題摘要

偏微分方程約束的最優控制問題的複雜性和高維特徵使得相關的數值模型是大規模非線性系統，這些系統需要特別的預條件、區域分解和並行計算技術求解。本項目研究偏微分方程約束的最優控制問題的基於重疊和非重疊區域分解的算法。本項目的主要研究內容包括以下幾方面：（ａ）穩態最優控制問題的重疊型區域分解算法；（ｂ）穩態最優控制問題的非重疊型區域分解算法；（ｃ）時間依賴最優控制問題的區域分解算法；（ｄ）相關和擴展問題的算法研究。本項目按計畫完成了預期的目標。主要研究成果和創新點如下：（１）梯度投影-區域分解型算法。該算法由內和外兩層疊代構成：外層是一個逼近控制變數的收斂的疊代算法，內層是求解狀態和對偶狀態變數的偏微分方程的重疊區域Schwarz交替算法。創新學術思路和解決的關鍵技術問題是：選擇最優的用於內疊代的區域分解算法的疊代次數，保證由內疊代和外疊代組成的整體疊代收斂，並使整體計算工作量最小。該研究結果在實際套用和理論研究方面都具有重要的意義。（２）引入了新的分析技術，系統研究了最優控制問題的Robin型非重疊區域分解算法的收斂速度問題，特別研究了算法中正則化參數對於問題和算法的影響。在各種參數選擇條件下，分析了算法的最優階收斂速度，給出了最優階參數條件。（３）對於時間依賴最優控制問題，其最優性條件是關於狀態的正向問題和關於對偶狀態的倒向問題的耦合非線性偏微分方程組。由於時空變數需聯立求解，高維特性更顯著,給數值計算帶來了更大的困難。（ａ）我們構造了拋物型偏微分方程約束的最優控制問題的Dawson-Dupont型區域分解算法，分析了算法的收斂性和誤差估計。該算法的優點是區域分解算法無需疊代；（ｂ）我們分析了Robin型時-空有限元方法。其基本思想是空間方向採用Robin型區域分解方法，將整體問題分解成多子區域子上Robin型子問題，然後採用時-空有限元求解。我們分析了算法的收斂速度。 （４）相關和擴展問題算法研究: 變係數分數階擴散問題解的適定性，建立了邊值問題的弱強制性理論；Stokes流和Navier-Stokes流約束的狀態受限問題的有限元方法的先驗誤差估計和自適應有限元方法的後驗誤差估計；積分-微分方程約束的最優控制問題的有限元方法和有限元解的先驗誤差估計；最優控制問題的譜方法的先驗和後驗誤差估計。