《兩類PDE約束最佳化問題的數值解法》是依託大連理工大學,由於波擔任醒目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：兩類PDE約束最佳化問題的數值解法
- 依託單位：大連理工大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：于波
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
科學與工程中的很多問題可以表述為帶PDE約束的最佳化問題。這類問題涉及函式空間中的最佳化理論、離散化方法和離散問題的數值方法，是一個既有挑戰性又有生命力的課題。本項目將研究兩類特殊的PDE約束最佳化問題的數值方法，擬解決問題如下：1.對帶控制約束和L1或Lp正則化項的稀疏最優控制問題，在採用通常的有限元法離散時，得到的問題不具有有限維稀疏最佳化問題的可分結構。本項目將設計既能保持可分結構又保持離散精度的離散方法，以及相應的快速算法，並分析離散誤差和算法的收斂性；2.對帶狀態約束的最優控制問題，採用分片二次多項式對狀態函式進行逼近，把離散化問題轉化成半定規劃問題，設計高效算法，並分析離散誤差和算法收斂性；3.對這兩類問題求解中涉及的非光滑非線性方程組，將研究高效率的Jacobian-Free半光滑Newton-Krylov方法及預條件技術。我們還將考慮所設計的算法的軟體實現及其套用。
結題摘要
帶偏微分方程(PDE)約束的最佳化問題在現代工業、醫學、經濟學等領域中都有非常重要的套用。值得注意的是，PDE約束最優控制問題是無窮維的最佳化問題，其求解涉及函式空間的離散方法、最優性理論、最佳化算法等許多面，所以其無論在理論分析方面還是在數值解法方面都是具有挑戰性的。此外，實際套用中的PDE約束最優控制問題隨著科學和工程的發展變得越來越複雜，而正是由於問題的複雜性，其精確的最優解在一般情況下是難以求解的。那么發展快速、高效、魯棒的數值解法來求解此類問題就顯得十分重要。本項目主要研究了兩類PDE約束最優控制問題：以流體流動的控制等實際問題為背景的帶狀態約束的PDE約束最優控制問題；以壓電磁碟上制動器的位置設計等實際問題為背景的帶控制約束的PDE約束稀疏最優控制問題。針對帶L1控制成本的稀疏橢圓最優控制問題、帶L2控制成本的橢圓最優控制問題、帶箱型狀態約束的L2控制成本的橢圓最優控制問題以及帶積分型狀態梯度約束的L2控制成本的橢圓最優控制問題等問題，利用有效的一些一階算法，如交替方向乘子法(ADMM)、加速塊坐標下降法(ABCD)，並綜合利用多重格線法、預條件技術等方法和理論，構造有效的數值解法。在理論上，給出誤差分析，分析所設計算法的收斂性以及有效性，並通過數值實驗進行驗證。
