《狀態受限最優控制問題的有限元方法》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由龔偉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：狀態受限最優控制問題的有限元方法
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：龔偉
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
偏微分方程約束的最優控制問題是近年來國際上研究的熱點問題，引起了人們從最優控制理論、偏微分方程約束的最佳化以及偏微分方程數值解等各個角度的研究興趣。狀態受限的最優控制問題是其中一類非常重要的問題，在大氣污染控制、產品加工成型等實際問題中有重要的套用，但狀態約束條件的引入給相應最優控制問題解的正則性、誤差分析及數值計算等帶來了困難，目前有很多問題尚未解決。本項目擬研究狀態受限的最優控制問題的有限元方法並爭取得到創新性成果。首先對於半線性橢圓方程約束的狀態受限問題，擬採用直接有限元離散或正則化方法來處理狀態約束，在合適的二階充分性條件下對局部解得到問題的先驗誤差估計。其次，研究具有不同種類狀態約束的線性拋物最優控制問題的有限元逼近，爭取得到最優的先驗誤差估計。最後，對線性橢圓和拋物方程約束的狀態受限控制問題的有限元逼近進行後驗誤差分析，爭取得到有效和可靠的後驗誤差估計子用以指導自適應有限元計算。
結題摘要
本項目名稱為“狀態受限最優控制問題的有限元方法”，項目起止年月為2013年1月至2015年12月。本項目擬研究偏微分方程約束最優控制問題的有限元方法，側重於研究狀態受限最優控制問題。項目執行三年以來，我們完成了項目申請書的大部分任務。項目申請書中列出的研究任務和目標得到了較好的執行和完成，取得了預期的進展，個別方向還需要進一步的後續研究來加強。我們同時在相關的偏微分方程最優控制的數值離散及算法設計領域進行了合理的擴展，關注了近年來的熱點研究方向，並且在這些方向取得了重要進展。 在狀態受限最優控制問題的研究中，我們研究了具有點態狀態約束的拋物方程最優控制問題，對時空全離散有限元逼近給出了最優的先驗誤差估計。對於狀態約束最優控制問題有限元逼近的自適應有限元方法，我們目前正在進行Moreau-Yosida正則化問題及其有限元逼近的後驗誤差估計。在相關的偏微分方程約束最優控制問題的數值方法研究方面，我們在以下方面取得了重要進展：1、提出了一類新的求解橢圓方程最優控制問題的多水平校正算法；2、在一般性的框架下研究了橢圓方程和拋物方程約束的低維流形上的最優控制問題的理論及數值逼近；3、首次給出了拋物方程點態控制問題的有限元先驗誤差估計；4、首次給出了拋物方程Dirichlet邊界控制問題的有限元方法的先驗誤差估計；5、首次嚴格證明了橢圓方程最優控制問題自適應有限元算法的收斂性，解決了這一長期懸而未決的問題；6、提出了一種新的求解發展方程最優控制問題的parareal算法。 在項目執行期間，課題組共發表論文12篇，其中有4篇文章發表在控制領域以及數值分析與計算領域的頂級期刊上，如《SIAM J. Control Optim.》，《SIAM J. Numer. Anal.》，《SIAM J. Sci. Comput.》等。還有4篇標註資助的論文投稿到國際權威SCI期刊上。
