基本介紹
- 中文名：射影對應
- 外文名：projective correspondence
- 適用範圍：數理科學
簡介,一維射影映射,二維射影映射,三維射影映射,
簡介
射影對應亦稱射影映射(projective mapping)、直射映射(collineation mapping)。
射影空間
到射影空間
的映射F稱為射影映射：
(1)如果子空間
⊂
，則F( )⊂F( )；
(2)對於每個子空間
，存在 ，使得F( )= ；
(3) = ,若且唯若F( )=F( )。
一維射影映射
設l和l’是兩條射影直線，f是從l上的點集到l’上的1-1映射，保持l上的任何四點的調和共軛性不變（即：若l上的四點A，B，C和D滿足交比(AB,CD)=-1，則f(A)=A’，f(B)=B’，f(C)=C’和f(D)=D’滿足(A'B',C'D')=-1），則稱f為從1到I'的一維射影映射(onedimensional projective mapping)。
一維射影映射保持任何四點的交比不變，且其逆映射也是一維射影映射。
兩個一維射影映射的合成仍是一維射影映射。
一維射影映射由三對對應點唯一決定（一維射影映射的基本定理），即: 若P1，P2和P3是l上的三個不同點，P'1，P'2和P'3是l'上的三個不同點，則有唯一的射影映射f，使
。
一條射影直線到自身的射影映射稱為一個一維射影變換。若一個一維射影變換有三個不同的不變點，則該一維射影變換是恆等變換。設l上的點P的射影坐標為(x'1,x'2)，點f(P)=P'的射影坐標為(x1,x2)，則f可以由下列非奇異線性變換來表示：
二維射影映射
設π和π'是兩個射影平面，f是從π上的點集到π'上的點集的1-1映射，保持點的共線性不變（即: π 上的共線點的象是π'上的共線點），則稱f為從π到π'的二維射影映射(two-dimensional projective mapping)。
二維射影映射保持共線四點的交比不變，且其逆映射也是二維射影映射。
兩個二維射影映射的合成仍是二維射影映射。
二維射影映射由四對一般位置的對應點唯一決定（二維射影映射的基本定理），即:
若P1，P2，P3和P4是π上的四個不同點，其中任何三點不共線，P'1，P'2，P'3和P'4是π'上的四個不同點，其中任何三點也不共線，則有唯一的射影映射f，使f(Pᵢ)= P'ᵢ(i= 1,2,3,4)。
一個射影平面到自身的射影映射稱為一個二維射影變換。若一個二維射影變換有四個不同的不變點，其中任何三個不共線，則該二維射影變換是恆等變換。
設π上的點P 的射影坐標為(x1,x2,x3)，點f(P)=P'的射影坐標為(x'1,x'2,x'3)，則f可以由下列非奇異線性變換來表示：
從π到π'的二維射影映射f誘導出從π上的直線集到π'上的直線集的1-1映射f'，因為π上的任意直線l上的點在f下的象必在π'上的某直線l'上，從而產生了映射f' :l→I'。
設l的直線坐標為
，I'的直線坐標為
，則f'也可以由非奇異線性變換來表示：
三維射影映射
設K 和K'是兩個射影空間，f是從K中的點集到K'中的點集的1-1映射，保持點的共面性不變（即: K 中的共麵點的像是K'中的共麵點），則稱f為從K到K'的三維射影映射(three-dimensional project ive mapping)。
三維射影映射保持點的共線性和K中的任何共線四點的交比不變，且其逆映射也是三維射影映射。
兩個三維射影映射的合成仍是三維射影映射。
三維射影映射由五對一般位置的對應點唯一決定（三維射影映射的基本定理），即: 若P1，P2，P3，P4和P5是K中的五個不同點，其中任何四點不共面，P'1，P'2，P'3，P'4和P'5則有唯一的射影映射f，使f(Pᵢ)= P'ᵢ(i= 1,2,3,4,5)。
一個射影空間到自身的射影映射稱為一個三維射影變換。
若一個三維射影變換有五個不同的不變點，其中任何四個不共面，則該三維射影變換是恆等變換。
設k中的點p的射影坐標為(x1,x2,x3,x4)點f(P)=P'的射影坐標為(x'1,x'2,x'3,x'4)，則f可以由下列非奇異線性變換來表示:
其中一切 ∈ℝ為常數，且ρ≠0,係數行列式det( )≠0。
從K到K'的三維射影映射f誘導出從K中的平面集到K'中的平面集的1-1映射f'。因為K中的任意平面α上的點在f下的象必在K'上的某平面α'上，從面產生了映射f'≠α→α。設α的平面坐標為
，α'的平面坐標為
，則f'也可以由非奇異線性變換來表示：
