實變函式(長安大學建設的慕課)

實變函式是長安大學建設的慕課，於2021年3月3日在中國大學MOOC首次開課，授課教師為宋學力、包雄雄、王凱明、張麗、肖偉、曹倩。據2022年7月中國大學MOOC官網顯示，該課程已開課3次。

實變函式課程共七章，包括引論、集合、點集、測度、可測函式、積分論、微分與積分等內容。

基本介紹

• 中文名：實變函式
• 類別：慕課
• 建設院校：長安大學
• 授課平台：中國大學MOOC
• 首開時間：2021年3月3日
• 授課教師：宋學力、包雄雄、王凱明、張麗、肖偉、曹倩

課程性質

• 課程定位

實變函式是致力於解決黎曼積分主要缺陷，進而提出一套完善的勒貝格積分理論的一門數學類學科基礎課程。它不僅是數學分析中經典黎曼積分的改進與完善，更是學生進一步學習泛函分析、Fourier分析、機率論、分形幾何、偏微分方程和調和分析等後繼專業課程的基礎。它講清楚了為什麼歷史上要產生以勒貝格測度和勒貝格積分理論等主要內容，是回答為什麼、是什麼和怎么樣的一個完整過程。它是數學學科的專業基礎課，也是數學類專業的必修課，還是培養學生的抽象思維能力和科學素養的有力工具。

課程簡介

實變函式課程共七章，第一章介紹實變函式發展歷程等內容；第二章重點學習集合的運算等知識；第三章學習度量空間、聚點、內點、界點、開閉集等知識；第四章學習外測度等知識；第五章學習可測函式等知識；第六章學習勒貝格積分簡介以及勒貝格積分定義等知識；第七章學習維塔利定理等知識。

課程大綱

01 實變函式引論 課時 1.1 實變函式的起源、發展及所包含的內容 02 集合 課時 2.1 集合的初步概念 2.2 集合的對等與基數 2.3 可數集合與不可數集合 03 點集 課時 3.1 度量空間，歐式空間，聚點，內點，界點 3.2 開集，閉集，完備集 3.3 直線上的開集、閉集及完備集的構造 04 測度 課時 4.1 外測度的定義與性質 4.2 可測集的定義與性質 4.3 可測集類 05 可測函式

課時 5.1 可測函式及其性質 5.2 葉戈羅夫定理 5.3 可測函式的構造 5.4 依測度收斂 06 積分論 課時 6.1 黎曼積分的局限性，勒貝格積分簡介 6.2 非負簡單函式的勒貝格積分 6.3 非負可測函式的勒貝格積分 6.4 一般可測函式的勒貝格積分 6.5 黎曼積分和勒貝格積分 07 微分與積分 課時 7.1 維塔利定理 7.2 單調函式的可微性 7.3 有界變差函式 7.4 不定積分

（註：課程大綱排版從左到右列）

開課信息

開課次數	開課時間	學時安排	參與人數
第1次開課	2021年3月3日-2021年8月25日	3-5小時每周	5159
第2次開課	2021年9月6日-2021年11月15日	3-5小時每周	3436
第3次開課	2022年1月16日-2022年5月15日	2-4小時每周	3323
該課程第1-3次開課授課教師均為宋學力、包雄雄、王凱明、張麗、肖偉、曹倩

教學計畫

章節標題	教學內容/計畫目標
第一講 實變函式引論	介紹實變函式發展歷程，細數其必要性和意義，了解實變函式發展歷史。通過介紹程其襄先生的數學貢獻，以數學家傳記激勵有志青年奔向理想。介紹實變函式的主要內容。
第二講 集合	重點學習集合的運算，對等與基數，可數集合，不可數集合。掌握集合的基本性質和運算，形成數學化邏輯方法，用簡潔、嚴謹、規範的數學語言表達自己的數學思想，做到條分縷析。
第三講 點集	學習度量空間，聚點，內點，界點，開閉集。了解並掌握集合中內點，聚點等的定義和開閉集性質，利用精確數學語言強化有組織的邏輯思維，培養學生的科學思維，使思維方式嚴格化，養成有步驟地進行推理的習慣。
第四講 測度	學習外測度，可測集與可測集類。掌握測度定義與可測集的性質，理解從集合的長度或者體積到外測度，再到測度的拓展思想，運用辯證的思想，拓廣可測集類並構造不可測集。
第五講 可測函式	學習可測函式，可測函式構造與依測度收斂。掌握可測函式定義、定理與依測度收斂，運用馬克思主義的辯證的觀點方法去發現問題、分析問題和解決問題，學會深度分析、大膽質疑。
第六講 積分論	學習勒貝格積分簡介以及勒貝格積分定義，重點掌握勒貝格積分的定義、基本性質和相關定理。
第七講 微分與積分	學習維塔利定理，有界變差函式和絕對連續函式，掌握把數學分析中牛頓-萊布尼茲公式推廣到勒貝格積分的情形。

教學目標

課程教學目標：

通過課程的教學，使學生掌握實變函式的基本概念、基本理論及其推導證明過程。系統掌握勒貝格測度和勒貝格積分理論，特別要求掌握集合語言的分析方法，測度和積分定義及性質，使學生能夠以更高的觀點看待積分的基本思想。

能力目標：

通過課程的教學，培養學生主動探尋並抓住數學問題中的背景和本質；熟練地用準確簡明規範的數學語言表達自己的數學思想；具有良好的科學態度和創新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法；對各種問題以“數學方式”的理性思維，從多角度探尋解決問題的道路。

思政德育目標：

（1）通過介紹數學家在該領域做的貢獻，激發學生的民族自豪感，增強學生的愛國主義精神和民族精神，形成正確的理想和信念；

（2）要讓學生在鍛鍊邏輯和抽象思維能力的同時接受辯證唯物主義思想的薰陶，提升學生運用馬克思主義的立場觀點方法發現問題、分析問題和解決問題的能力；

（3）通過數學的發展歷程和數學家對於數學鍥而不捨、矢志不移的精神，認真專注、不懈探索的態度，培養學生的數學思維，鼓勵學生刻苦奮鬥，進一步激發和提升學生探索未知、追求真理、勇攀科學高峰的責任感和使命感。

學習預備

預備知識

學習該課程需具備數學分析、高等代數和解析幾何等先修課程的基礎知識。

學習資料

書名	作者	出版社	出版時間	ISBN
《實變函式論（第3版）》	周民強等編	北京大學出版社	2021年	9787301276471
《實變函式與泛函分析概要（第5版）（第1冊）》	鄭維行、王聲望編	高等教育出版社	2019年4月	9787040512366
《實變函式與泛函分析概要（第5版）（第2冊）》			2019年5月	9787040512359
《實變函式與泛函分析（上冊）》	夏道行、嚴紹宗等編		2016年4月	9787040274318
（註：表格內容參考資料）

教師簡介

宋學力，長安大學博士生導師、理學院院長。主要研究領域：常微分方程的定性理論及其在微觀經濟和人工神經網路中的套用、基於統計學方法的圖像配準和結構損傷檢測、基於稀疏回響深度神經網路的圖像變化檢測和統計過程控制等。

包雄雄，長安大學數學與信息科學系教師。主要從事微分方程、動力系統及其套用方面的研究，主要研究對象是反應擴散方程（組）和非局部擴散系統的傳播現象與空間動力學問題。

王凱明，長安大學副教授。開授課程：高等數學、線性代數、複變函數與積分變換、機率論與數理統計、常微分方程和現代控制理論，研究方向主要為為現代控制系統定性穩定性分析，多模態大數據建模。

張麗，長安大學數學與套用數學系教師。主要研究方向：微分方程與動力系統。開授課程：空間解析幾何、高等數學、數學建模、生態數學、機率論與數理統計等專業基礎課。

肖偉，長安大學數學與套用數學系教師、副教授。研究領域：非線性偏微分方程。

曹倩，長安大學數學與套用數學系教師。長期以來從事反應擴散方程（組）和生物模型動力學行為和斑圖問題的研究。