δ-函式

δ-函式即狄拉克δ函式。狄拉克δ函式是一個廣義函式，在物理學中常用其表示質點、點電荷等理想模型的密度分布，該函式在除了零以外的點取值都等於零，而其在整個定義域上的積分等於1。

狄拉克δ函式在概念上，它是這么一個“函式”：在除了零以外的點函式值都等於零，而其在整個定義域上的積分等於1。

基本介紹

• 中文名：δ-函式
• 外文名：Dirac delta function
• 定義：描述點分布密度的廣義函式
• 領域：物理學
• 套用學科：量子力學術語
• 範疇：理工科

概念

物理學中常常要研究一個物理量在空間或時間中分布的密度，例如質量密度、電荷密度、每單位時間傳遞的動量（即力）等等，但是物理學中又常用到質點、點電荷、瞬時力等抽象模型，他們不是連續分布於空間或時間中，而是集中在空間中的某一點或者時間中的某一瞬時，那么它們的密度應該如何表示呢？

為了在數學上理想地表示出這種密度分布，引入了δ函式的概念。用數學表示為：

上述表達式不規定δ函式在0點的取值，是因為這個值無法嚴謹地表述出來，不能籠統的定義為正無窮，並且函式取值的“大小”是由第二個積分式決定的，因此只需限定取值為零的區域即可。如果函式不在0點取非零值，而在其他地方，可定義：

多維δ函式

定義

在多維空間中的δ函式定義如下：

例如在三維空間中，三維δ函式可表示為三個一維δ函式乘積表示，在直角坐標系中，

在極坐標系中，

在球坐標系中，

性質

多維的δ函式主要性質：

位矢的微分

δ函式可以表示如下：

靜電場

密度表示

點電荷等抽象模型的密度分布可以表示為：

一組點電荷的電荷密度可以表示為：

不僅可以用δ函式表示點電荷的密度分布，還可以表示圓柱、球殼上的電荷密度。例如，在電荷q均勻分布在半徑為a的球上，在球坐標系中其電荷密度為：

在半徑為b的圓柱上均勻分布的電荷單位長度的電荷為，在柱坐標系中其電荷密度為：

電場的方程

電學的高斯定理微分形式為：

電場強度為：

因此位矢的微分可以表示成：

也可代入電荷密度的表達式直接得到。