嚴格決定對策

在有限二人零和對策中，稱存在鞍點的對策為嚴格決定了的對策(稱矩陣遊戲更妥當)，簡稱嚴格決定對策(strictly determined game)，有些對策沒有鞍點，有些則有許多鞍點。

基本介紹

• 中文名：嚴格決定對策
• 外文名：strictly determined game
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：運籌學
• 相關概念：二人零和對策

基本介紹

嚴格決定對策指在有限二人零和對策中，設局中人A和B的策略分別為 和 。如果設A選用策略i，B選用策略j時A的得分為 ( 為負時就是A的失分)，則能構造下面的得分表。

	B
A		1	2		n
	1
	2
	m

如果A、B都互不知道對方所採取的策略，則A會選擇使得的最小值即為最大的策略i，而B會選擇使得的最大值即為最小的策略j。假定， 如果A和B都採用最合理的策略，則A得到而B支付。具有上述條件的對策稱為嚴格決定對策，稱為這個對策的值。當這一關係不成立時，就稱為非嚴格決定對策。

兩人零和對策與嚴格決定對策

人們在競爭或鬥爭中，總希望自己的一方取勝．每一方為取勝所作的努力一定會遭到對手的干擾，因此，任何一方都必須考慮對手可能怎樣決策，從而選出自己的好的對策，這類競爭或鬥爭的現象，稱為對策現象。

請看下面的矩陣遊戲，設矩陣

為已知，甲可任選行數(可能是1，2，3)，乙也可選列數，當交錯元素為正時，表示甲勝，當交錯元素為負時，表示乙勝。例如，甲選第2行，乙選第3列，交錯元素為-3，乙就獲勝。甲、乙兩人稱為局中人，(甲選行數，乙選列數)組成一個“局勢”，甲選某行是一個策略，甲可取3個策略；乙取某列也是一個策略，乙也可取3個策略，共可組成9個“局勢”，勝負或得失是局勢的函式。

有限零和兩人對策是一種特殊的現象，局中人只有兩個，每個可選取的策略只有有限個，且任一局勢對應的得失之和總等於零，即一人所得即另一人所失。

有限零和兩人對策可用矩陣表示，用下列矩陣

表示甲的得失表，它表示甲共有m個策略(行數)，乙共有n個策略(列數)，寫

在i行j列的數 就是甲的得失，即當甲選取第i個策略、乙選取j個策略時，甲得 (當它大於零時稱得，當它小於零時實際上是失)。當然，乙的得失表即矩陣 。

例如，甲的得失表為

如甲選第1行，他可能得到5分，但他也可能失去2分；如甲選第2行，他可能得到4分，但他也可能失去4分；如甲選第3行或第4行，都肯定能得分。同時，乙也會考慮他的對策。

甲的一種選擇策略的辦法是找出

即行中最小的數的集合中的最大者，它所在的行是較好的策略，上面這矩陣中，各行的最小值為 ，這裡面的最大者是2。甲如選第4行，穩得2分。當行中最小數的集合中的元素都相等時，我們說 不存在．

稱 為鞍點，稱存在鞍點的對策為嚴格決定了的對策(稱矩陣遊戲更妥當)。

有些遊戲矩陣沒有鞍點，有些則有許多鞍點，如

無鞍點，又如

有4個鞍點。

例如，齊王與田忌賽馬的故事，齊王與田忌賽馬，規定每人牽出強、中、弱馬各1匹，共3匹組成馬隊進行團體賽，各隊預先排好1，2，3次序，第1對第1，第2對第2，第3對第3，勝者得1分，可贏1乾金，一場比賽下來，最多可得3分，最多失分也是3分。已知田忌的強馬比齊王的強馬差，但比齊王的中馬好，田忌的中馬比齊王的中馬差，但比齊王的弱馬好，田忌的弱馬最差，齊王與田忌都有6種策略：

(1)(強中弱)；(2)(強弱中)；(3)(中強弱)；(4)(中弱強)；

(5)(弱強中)；(6)(弱中強)．

齊王的得失分表如下：

它不存在鞍點，不是嚴格決定了的對策。但確實存在一些局勢，它們對應著齊王失1分，這故事中的確是田忌得了1分，齊王因此輸了1乾金。