同倫運算元

同倫運算元(homotopy operator)是具有同倫性質的線性變換。

兩個拓撲空間X和Y同倫等價的充要條件是：存在空間Z，使得X與Y分別同胚於Z的兩個強形變收縮核。

基本介紹

• 中文名：同倫運算元
• 外文名：homotopy operator
• 領域：數學
• 性質：線性變換
• 特點：同倫
• 對象：微分流形

概念

同倫運算元(homotopy operator)是具有同倫性質的線性變換。設f₁，f₂是兩個微分流形M，N之間的C映射，則有誘導映射：

δf_i：E(N)→E(M) (i=1，2)，

k為非負整數，對於這些誘導映射，若存在一組線性變換h_k：E(N)→E(M)，使得

則稱這組線性變換{h_k}為f₁與f₂的同倫運算元。可以看出龐加萊引理中的{h_k}也是同倫運算元。

倫型相同的拓撲空間所共有的性質稱為同倫不變數。由於同胚的空間必同倫，故同倫不變數一定是拓撲不變數。代數拓撲學主要研究空間的同倫。

同倫

設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射，若存在連續映射H：X×I→Y使得：

H(x，0)=f(x)

H(x，1)=gx∈X

則稱f與g同倫，記為f≃g：X→Y或f≃g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{h_t}_t∈I，h_t連續地依賴於t且h₀=f，h₁=g，即當參數t從0變到1時，映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續映射之集，則同倫關係≃是C[X，Y]上等價關係，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，則gf≃gf： X→Z。

設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Id_x且f·g≃id_r。這Id、id均表示恆同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x₀∈X，使得常值映射C：X→X。x₁→x₀與映射id_x同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條：(1)id_x≃0，即恆同映射id_x零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g：Z→X，g≃0。

設A是空間X的子空間，i：A→X表包含映射，若存在連續映射r：X→A，使得r|_A=id_A(或r·i=id_A)，則r稱為X到A的保核收縮，A稱為X的收縮核。若有保核收縮r：X→A滿足i·rid_x：X→X，則H稱為X到A的形變收縮，A稱為X的形變收縮核，若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則H稱為X到A的一個強形變收縮，A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮，且若A是X的形變收縮核，則內射i：A→X是同倫等價。

兩個拓撲空間X和Y同倫等價的充要條件是：存在空間Z，使得X與Y分別同胚於Z的兩個強形變收縮核。

倫型相同的拓撲空間所共有的性質稱為同倫不變數。由於同胚的空間必同倫，故同倫不變數一定是拓撲不變數。代數拓撲學主要研究空間的同倫。

設A為空間X的子空間，序偶 (X，A) 稱為空間偶，連續映射f： X→Y，把A映到Y的子空間B內，則記f：(X，A)→(Y，B)。若有連續映射f：(X，A)→(Y，B)，g：(Y，B)→(X，A)使得g·f=id_x，f·g=idY，則f為空間偶的同胚。同樣有偶的同倫的概念。若有偶的同倫：f≃g：(X，A)→(Y，B)滿足：對任意t∈I，x∈A有H(x，t)=f(x)=g(x)，稱f和g相對於A同倫，記作：

當A為空集∅時，相對同倫就是一般同倫。設A⊂X，則A是X的強形變收縮核的充要條件是：存在收縮映射(保核收縮)r：X→A使得ir≃id_x：X→XrelA，其中i：A→X為內射。

線性變換

未知數的線性變換，是一組(m個)未知數_x1，x₂，…，x_m到另一組(n個)未知數y1，y₂，…，yn的一個變換，使得新未知數用原未知數線性地表出：

其中係數a_ij(i=1，2，…n，j=1，2，…，m)為常數。例如，歐氏空間中的旋轉，是一種線性變換。

更一般地，設L是線性空間的一個把向量X₁、X₂分別變換為向量Y₁，Y2的變換，若在變換L下，線性組合a₁X₁+a₂X2變換為a₁Y1+a₂Y2，則稱變換L為線性變換。

微分流形

設M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間，且是拓撲流形，稱A= {(U_α，Ф_α)|α∈P}是它的地圖，如果{U_α|α∈P}是M的開覆蓋，Ф_α是從U_α到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(U_α，Φ_α)稱為坐標卡。如果兩個坐標卡 (U_α，Ф_α)，(Uβ，Φ_β) 滿足U_α∩U_β≠Φ，則稱Φ_β·Ф_α：Φ_α(U_α∩U_β) →Φ_β(U_α∩U_β) 和Φ_α·Φ_β： Φβ(U_α∩U_β) →Ф_α(U_α∩U_β) 為U_α∩U_β上的坐標變換。如果A的所有坐標變換都是C可微的，則稱A為一個C地圖，其中1≤r≤∞。r也可等於ω，此時A稱為解析地圖。拓撲流形M的坐標卡 (U，Φ) 稱為與A是C相容的，如果任意(U_α，Φ_α) ∈A，坐標變換Φ·Φ_αΦ_α·Φ均C可微。拓撲流形M的C地圖A稱為最大的，如果它包含M的所有與之C相容的坐標卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結構。(M，A)稱為C微分流形，或簡稱為C流形。當r=∞時，C微分結構也稱為光滑結構，C流形也稱為光滑流形。r=ω時，C結構也稱為解析結構，C流形稱為解析流形。C流形(M，A)有時也簡記為M。

從直觀上看，拓撲流形是局部歐氏空間，局部之間用同胚映射(坐標變換)貼上在一起。n維C流形，不僅局部同胚於n維歐氏空間，而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的坐標變換貼上在一起。

兩個C流形M和N，f：M→N是連續映射，且任一點P∈M，有包含P點的M中的坐標卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的坐標卡(V，φ)，使得f(U)⊂V，同時，映射φ°f°Φ_-1：Φ(U)→φ(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，則稱f是C映射。C映射也稱為光滑映射，C映射也稱為解析映射。其中φfφ稱為f的局部表示。

C流形M和N之間的同胚f：M→N，如果f和f均是C映射，則稱f是C微分同胚。

(M，A)是C微分流形，A是C結構，若1≤r≤s≤∞，則A中包含M的C結構A′。且此Cs微分結構A′在相差一個C微分同胚的意義下是唯一的，此時我們稱A與A′相容。此結果歸功於惠特尼。同樣，一個C結構也允許相容的實解析結構。這就是說當1≤rr流形與C流形無本質區別，特別地C流形與C流形無本質區別。但如果我們把不存在微分結構的拓撲流形稱為C流形，則C流形與C流形有本質區別。存在不允許任何微分結構的拓撲流形，這樣的流形維數最小是四維，已經知道的例子是八維的。

一個拓撲流形M如果存在兩個C微分結構A與A′，使微分流形(M，A)與(M，A′)不是C微分同胚的，則稱A與A′相異。米爾諾(Milnor)證明七維球S存在多個相異的C微分結構。這種與普通球S同胚，但不是C微分同胚的C微分流形稱之為怪球。在討論這類問題過程中的一個重要有趣的問題是：“一個光滑流形M，使得M-{P}可縮，其中P是M中任一點，能否引出M同胚於一個球?”對於M的維數n，當n=0，1，2時，M微分同胚於n維球S;當n=3時，歸結為龐加萊猜想;n=4時也未解決;n≥5時，問題結論成立。

微分流形與組合流形的關係，即C剖分與光滑化問題。給n維C流形(1≤r≤∞)的一個單純剖分(k，f) (f：|k|→M是同胚)滿足：(1)對於|k|的每個閉n單形σ，f|σ是C映射。(2)f|σ的雅可比矩陣的秩在每點均是n，則稱(k，f)是M的C剖分，也稱M的C結構與剖分(k，f)是C相容的。有下面結果：(1)每個C流形均具有C剖分，且邊緣的C剖分可擴張為整個C流形的Cr剖分。(2)對於C流形M的C剖分(k，f)，已剖分的空間(k，f，M)是組合流形。(3)對於同一C流形M的兩個不同的C剖分(k₁，f₁)和(k₂，f₂)，(k₁，f₁，M)和(k₂，f₂，M)組合等價。

反之，如果對於組合流形M，存在M上的微分結構，使剖分(k，i) (其中i：|k|→M是恆等映射)是Cr相容的，則稱之為M的光滑化。現已證明，對於n≤7時，任意n維組合流形可光滑化。