基本介紹
- 中文名：半鞅
- 外文名：Semimartingale
- 領域：數學
- 適用領域：機率論
定義,概述,右連左極函式,性質,例子,布朗運動,萊維過程,參見,
定義
概述
一個定義在帶域流的機率空間（Ω
）的實值隨機過程X被稱為半鞅，若X有如下分解：
右連左極函式
在數學中，右連左極函式（càdlàg，RCLL）是指定義在實數集或其子集上的處處右連續且有左極限的函式。這類函式在研究有跳躍甚至是需要跳躍的隨機過程時很重要，這類隨機過程不像布朗運動具有連續的樣本軌道。給定定義域上的右連左極函式的集合稱為斯科羅霍德空間（Skorokhod space）。全部連續函式都是右連左極函式。由累積分布函式的定義知所有的累積分布函式都是右連左極函式。
性質
- 多個半鞅的線性組合仍然是半鞅。
- 多個半鞅的積仍然是半鞅。
- 任意半鞅的二次變差都存在。
- 若X為一半鞅，f為二次連續可微函式，則f(X)也是半鞅。
例子
布朗運動
布朗運動（Brownian motion）過程是一種常態分配的獨立增量連續隨機過程。它是隨機分析中基本概念之一。其基本性質為：布朗運動W(t)是期望為0、方差為t（時間）的正態隨機變數。對於任意的r小於等於s，W(t)-W(s)獨立於的W(r)，且是期望為0、方差為t-s的正態隨機變數。可以證明布朗運動是馬爾可夫過程、鞅過程和伊藤過程。
它是在公元1827年英國植物學家羅伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是有水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子越大，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10-8厘米。
