局部鞅

局部鞅(local martingale)是鞅的局部化類。設X={X(e),e∈R₊}是{F_e}適應過程，稱X為{F_e}局部鞅(簡稱局鞅)，如果存在停時序列{S_ə}，S_ə↑+∞ a.s.使得X^(S_ə)={X(e∧S_ə),e∈R₊}是{F_e}一致可積鞅。一個非負可積{F_e}局部鞅必是{F_e}上鞅。許多著作在局部鞅的定義中對X(0)加以特別對待。例如有，{X(e),e∈R₊}稱為局部鞅，如果X(0)∈F₀，並且存在停時序列{S_ə},S_ə↑+∞ a.s.使得X(e∧S_ə)-X(0)是{F_e}一致可積鞅。

基本介紹

• 中文名：局部鞅
• 外文名：local martingale
• 簡稱：局鞅
• 所屬學科：數學
• 性質：鞅的局部化類

定義

設M為一右連續適應過程，稱M為一局部鞅(相應地，局部上鞅，局部可積變差鞅)，如果存在停時 ，使得每個 為一致可積鞅(相應地，類(D)上鞅，可積變差鞅).

類似地，我們可以定義局部有界鞅、局部平方可積鞅等概念。

由定義我們可以看出以下事實：

1)局部鞅為一右連左極適應過程；

2)右連續鞅為局部鞅(令 )；

3)局部鞅空間為線性空間；

4)設M為局部鞅，T為停時，則 為局部鞅。

基本性質

性質1 設M為一非負局部上鞅，若 可積，則M為上鞅。

性質2 設M為一右連續適應過程，

1)為要M是局部鞅，必須且只需存在停時 ，使得每個 為一致可積鞅。

2)設S，T為兩個停時，使得 及 為一致可積鞅，則 也為一致可積鞅。

3)如果存在停時列 ，使得 ，且每個 為局部鞅，則M為局部鞅。

性質3 設M為一局部鞅，T為一停時，則為要為一致可積鞅，必須且只需 為類(D)過程。

性質4 設M為一局部鞅，T為一停時， 為一 可測實值隨機變數，則 為局部鞅。

性質5 可料局部鞅為連續局部鞅。

性質6 設M為一可料的局部可積變差鞅，則。

性質7 設A為一局部可積變差適應過程， 為其可料對偶投影，則 為唯一的可料有限變差過程，使得 為零初值局部鞅。

性質8 設 為一適應局部可積變差過程， ，其中 為A的連續部分， 為A的可及跳部分， 為A的絕不可及跳部分，則

1) 為純斷的， 為連續的；

2)為要 連續，必須且只需 為局部鞅；

3)為要 純斷。必須且只需 =0，且 為局部鞅。

性質9 設 為一局部可積變差鞅,令

則 為一局部可積變差過程，且其可料對偶投影 連續．我們有

此外，若M只有可及跳，則

性質10 設X為一非負右連續上鞅，則X有如下唯一分解：

其中M為在 中有界的局部鞅，A為一零初值可料可積增過程。

基本定理與局鞅分解

1．設M為一局部鞅，則對任給 ，M可作如下分解：

其中U為零初值局部有界鞅，且；V為局部可積變差鞅，如果M擬左連續，則可要求U及V也擬左連續，且U與V無公共跳。

2. 有限變差局部鞅為局部可積變差鞅。

3. 設A為一適應有限變差過程，則為要A為局部可積變差過程，必須且只需存在一可料有限變差過程B使得A 一B為局部鞅。

4. 設M為一局部鞅，稱M為純斷局部鞅，如果世，且M可作如下分解：

其中U為零初值局部純斷平方可積鞅，V為零初值有限變差局部鞅。

5. 設M為一局部鞅，則M有如下唯一分解：

其中為連續局部鞅，為只有可及跳的純斷局部鞅，為只有絕不可及跳的純斷局部鞅。