伊藤積分

伊藤積分((Ito integral)是一種隨機積分，它是由日本數學家伊藤清首先提出和研究的。伊藤方程的重要性之一在於它的解過程是一個馬氏過程，從而可以把馬氏過程的許多深入結果利用上。

基本介紹

• 中文名：伊藤積分
• 外文名：Ito stochastic integral
• 定義：一種隨機積分
• 套用學科：數學術語
• 範疇：數理科學
• 涉及：伊藤

概念

在統計物理中的郎之萬方程，應該是隨機微分方程，而且不是普通意義下的隨機微分方程

代表布朗粒子所受到的隨機力，它被視為一個白噪音過程。由於白噪音不是一個普通的隨機過程，所以，朗之萬方程的嚴格數學表達遇到了困難。

更一般地，考慮方程

其中 與 是兩個確定性函式， ， 是 維白噪音過程。由於 不是普通隨機過程，故上式雖然是有重要實際意義的，但卻沒有嚴格的數學意義。

注意到白噪音過程是作為 過程的導過層是引入的，因而上式在形式上等價於方程

是 過程。

上式比較容易賦以嚴格的定義，只須對其右端第二個積分加以解釋罷了。我們可以把第二個積分理解為斯蒂爾吉斯均方積分

不幸的是，等式右端的極限差不多總是不存在的。伊藤解決了這一困難，他把 點的取法作了限制， 永遠取子區間的左端點

這樣規定的積分，就是有名的伊藤積分。

基本原理

定義：設 ， 是隨機過程，對 區間取一划分

求和

若無限分細時，此和式有唯一的均方極限，則稱該極限為 在 上的伊藤積分，記作

定理：若在上連續，對任意，都有與獨立，則

存在。

定理：設與是兩個實函式，滿足

（1）都在上連續，且對每一，關於一致連續。

（2），，其中為一常數。

（3）李普西茲條件：，，又設與任意獨立，則伊藤方程有唯一確定的解。

定理：設與任意獨立，則伊藤方程的解是一個馬爾科夫過程。