《動力系統中的孤立不變集》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由鄭作環擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：動力系統中的孤立不變集
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：鄭作環
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在微分方程定性理論和動力系統中，一個基本課題是研究孤立不變集。因為如果將孤立不變集研究清楚，包括存在性，內部結構以及它周圍的軌線性態，就可以得到系統的全局結構,還可以進一步分析它的結構穩定性。本項目包括三部分內容。（1）確定性動力系統中的孤立不變集。在古典動力系統中，像不動點集，周期點集，Poisson穩定點集，非遊蕩點集等這些都是大家所熟悉的孤立不變集。二十世紀七十年代，著名數學家C.Conley引入了鏈回復集，它包含非遊蕩集。後來人們又找到了一些新的孤立不變集。我們將研究系統中存在某種孤立不變集的充分條件，研究其結構，尋找一些新的孤立不變集。（2）隨機動力系統中的孤立不變集。人們已經給出了隨機動力系統中的孤立不變集的定義。平穩解的研究也取得了許多傑出的結果。但對其他孤立不變集的研究成果還很少。我們將主要研究隨機周期解等問題。（3）研究時滯微分方程中存在某種孤立不變集的充分條件。
結題摘要
本項目研究動力系統（包括確定性動力系統、隨機動力系統和時滯微分方程）中的孤立不變集的存在性、內部結構等。 在確定性動力系統中，我們找到了兩類新的孤立不變集：一個集合的延拓區域和 $omega$-擴充集。並利用兩類孤立不變集分別給出Lipschitz 各態歷經性和廣義各態歷經性的充分必要條件。我們還研究非連續斜積流，得到了半一致可加遍歷定理。 在隨機Burgers方程中，我們得到了隨機周期解存在性的充分性定理。 在時滯微分方程中，研究帶有混合單調性的n維時滯反應擴散方程，證明了行波解的存在性。研究了一類具有靜止階段的時滯擴散模型，得到了波前解存在性。對於二階非線性中立型時標動態方程，證明了存在非振動解的若干個充分必要條件。
