同宿類與鏈回復類的魯棒動力性態研究

《同宿類與鏈回復類的魯棒動力性態研究》是依託北京航空航天大學，由文曉擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：同宿類與鏈回復類的魯棒動力性態研究
• 依託單位：北京航空航天大學
• 項目負責人：文曉
• 項目類別：青年科學基金項目

項目摘要

本項目準備研究同宿類與鏈回復類的三種重要的魯棒性質。所謂同宿類和鏈回復類是指動力系統的一種最大的、不可分解的緊不變集，傳統上被認為是某種意義上的基本塊。上世紀動力系統的一個重要發現是，對全空間而言，結構穩定性、魯棒跟蹤性、魯棒可擴性這三種性質都蘊含全空間的雙曲性。一個自然的問題是，對一個基本塊而言，結構穩定性、魯棒跟蹤性、魯棒可擴性是否都蘊含該基本塊的雙曲性。本項目試圖證明這個問題的答案是正面的。與全空間的情形不同，這裡的主要困難在於，一個非孤立基本塊被其他的基本塊無限逼近，造成干擾，導致原有的方法在這裡失效。本項目的另一個目標是試圖研究，對一個基本塊而言，如果魯棒性代之以通有性，上述結論是否成立。

結題摘要

在近年微分動力系統的研究中，同宿類與鏈回復類上的內蘊式的持續動力學性質（或又可稱為魯棒動力學性質）是一個非常重要的研究對象。其中有一些已有相應的結果，例如E. Pujals, M. Sambarino等人一系列的關於持續可擴同宿類的研究，以及申請者本人與北京大學文蘭院士、甘少波教授等人關於持續可跟蹤鏈回復類的研究，證明了在這類持續性質下（或附加一點其他的條件），對應的同宿類或鏈回復類是雙曲基本集。這類問題中還有一個最重要的問題是內蘊式的結構穩定性是否蘊含雙曲性。本項目的一個核心研究內容就是這一問題：一個同宿類上（或鏈分支上的）內蘊式結構穩定性是否蘊含雙曲性。通過本項目的研究，我們對這一問題取得了非常重要的結果。我們首先對結構穩定的鏈回復類進行研究，首先證明了結構穩定的鏈回復類上具有控制分解（一種準雙曲性），進而在余維一的情況下證明了結構穩定的鏈回復類是雙曲的。而對於結構穩定的同宿類，我們也證明了同樣的結果，同時還證明了在系統遠離同宿切這一分支現象是，結構穩定的同宿類是雙曲的。這些相關的結論可以看作是上個世紀微分動力系統研究中結構穩定性研究的一個延伸與擴展，具有非常重要的理論意義，相關的論文分別發表在領域內知名期刊“Transactions of the American Mathematical Society” 和Discrete and Continuous Dynamical Systems上。我們相關的研究也給這類問題的徹底解決提供了一個整體的框架。在項目的研究中，我們還對通有系統的一些動力學性質與雙曲性的關係進行了探討，我們證明了對通有的保守系統而言，可擴性與流形上整體的雙曲性等價，當流形的維數大於2時，偽軌跟蹤性與流形上的整體的雙曲性等價，相關結論發表在國內期刊“Acta Mathematica Scientia(English Series)”上，這也是近年微分動力系統的一個熱點研究內容。