《帶奇異初值的發展方程及相關問題研究》是依託河海大學，由李曉軍擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：帶奇異初值的發展方程及相關問題研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李曉軍
- 依託單位：河海大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目旨在研究奇異初值下自治與非自治發展方程的適定性,其解的長時間動力學行為及相關特性。首先，當非線性項以臨界指數增長時，在一般的Banach空間中研究奇異初值下拋物方程與帶阻尼項的波方程ε-正則解的存在性、唯一性、對初值的連續依賴性；在分數次空間與插值空間中研究該解的正則性。其次，在Banach空間中分別建立自治與非自治的非線性拋物方程與非線性波方程吸引子的存在性，正則性。我們考慮吸引子對於擾動的穩定性及對解軌道的吸引率。在一般的Banach空間中，當方程的解缺乏一定的光滑性及沒有慣性流形存在時，建立指數吸引子的存在性結果，並套用到奇異初值問題。最後，我們研究吸引子的幾何結構與拓撲結構。我們試圖在一般的Banach空間中估計吸引子的Hausdorff與Fractal維數。同時，考察自治與非自治情形下非線性拋物方程與非線性波方程的吸引子內孤立不變集的存在性，吸引子的Morse分解。
結題摘要
一、研究背景： 本項目旨在研究奇異初值下自治與非自治發展方程的適定性,其解的長時間動力學行為及相關特性。當發展方程的非線性項以臨界指數增長時，奇異初值問題能從一個側面刻畫其解的適定性，解的正則性，解對初值的依賴性，能有效地克服在原初值空間中研究該問題時所出現的一些困難。另一發麵，奇異初值問題可以從另一側面研究發展方程解的正則程度，能有效地研究吸引子的正則性。 二、主要研究內容：首先，當非線性項以臨界指數增長時，在一般的Banach空間中研究奇異初值下發展方程解的存在性、唯一性、對初值的連續依賴性；在分數次空間與插值空間中研究該解的正則性。其次，在Banach空間中分別建立自治與非自治的發展方程吸引子的存在性，正則性。再次，我們考慮吸引子對於擾動的穩定性及對解軌道的吸引率。在一般的Banach空間中，當方程的解缺乏一定的光滑性及沒有慣性流形存在時，建立指數吸引子的存在性抽象結果，並套用到具奇異初值拋物方程和波方程。最後，我們考慮了發展方程的隨機外力。就奇異初值下帶可加噪聲和乘積噪聲的發展方程的解的適定性，解的正則性及隨機吸引子的存在性做了相關研究。 三、重要結果： 首先，在發展方程兩解之差缺乏光滑性及系統沒有慣性流形存在時，我們利用非自治過程所對應離散半群的一致squeezing特性，在Banach空間中建立拉回指數吸引子存在性的抽象結果，由此給出連續情形下吸引子分形維數有限的估計，吸引子的指數吸引特性。我們套用此結果研究拋物方程和波方程。其次，在隨機框架下，得到了奇異初值下發展方程在一般的Banach空間中解的存在性，唯一性，解對初值的連續依賴性和解的正則性。建立了隨機吸引子的存在性及其正則結果。最後，得到了帶雙記憶的發展方程吸引子的存在。 四、科學意義： 通過本項目的研究，能在臨界情形下有效解決發展方程適定性及相關問題。推廣了吸引子關於擾動穩定性問題的研究方法，可以解決缺乏光滑性系統中指數吸引子的存在性。同時，將奇異初值問題推廣到隨機情形下。
