判別式法

“判別式法”是我們解題時常用的方法，對初高中同學來說，在解題中常常用到，掌握它很有必要，下面舉例說明它的作用。

基本介紹

• 中文名：判別式法
• 作用：判斷方程有沒有根以及有幾個根
• 說明：判別式法簡化為關於x的二次方程
• 運用：求函式的值域等

定義

作用

可以判斷方程有沒有根以及有幾個根，b^2-4ac<0無根，b^2-4ac=0有兩個相等根即一個根，b^2-4ac>0有兩個不相等根

說明

可用判別式法簡化為關於x的二次方程。

例如y=50x/(1+(x的平方)) ，附加限制條件(x>0) ，求y的最大值 。

yx^2-50x+y=0 由於兩根之積為1，說明兩根同號，那就必然是同正，所以兩根之和為正，也就是50/y>0。

定義域情況

定義域非R有兩種情況

第一種：被摳掉了一點或兩點（不會考多）只需檢驗即可 （ 至於具體如何檢驗： 應當理解，判別式法的原理在於求 x有解情況下 y的範圍 這解可能為兩個 也可以為一個 也就是說即使摳掉的那個點在某y值下是一個解 只要此時判別式不等於零也就是還有另外的解 而那個解在定義域內則該y 值就可以取到 理解到這裡就行了）

第二種也就是諸如（x>0) 。這種一般有兩種考慮方法。

第一種就是從正面考慮，也就是在判別式大於等於零下，分為“一個解大於零另一個解小於等於零”和“兩解均大於零（包含兩解相等）”兩種可能具體方法。須用韋達定理求解。

還可以從反面考慮，也就是在判別式大於等於零下排除兩解都小於等於零的情況

還有種可能就是定義域為x>1。

此情況，只需參照上面方法，將 X1*X2 轉化為(X1-1)(X2-1)這種形式即可。若求和亦然。

應當提的是 當遇到第二種情況（即並非摳點的情況）時，適用判別式法的題就比較少了，那樣會比較麻煩。

應清楚解題方法。比如如下例題，最簡單就是把x 除下來，然後求均值就可結束。

運用

求函式的值域

例1. 求函式的值域。

解：將原函式變形得，把此方程看作關於x的一元二次方程，該方程一定有解，利用方程有解的條件求得y的取值範圍，即為原函式的值域。

當時，（說明函式值可以為0）。

當時，令，解得

故原函式的值域為

求最值

例2. 已知，且，試求實數a、b為何值時，ab取得最大值。

解：構造關於a的二次方程，套用“判別式法”。設 （1）

由已知得 （2）

由（1）（2）消去，對a整理得 （3）

對於（3），由，解得或。由，捨去，得。

把代入（3）（注意此時），得，即從而。

故當時，取得最大值為18。

證明不等式

例3. 已知。證明：恆成立。

解：不等式變形為

將不等式左邊看作關於y的二次函式，令。由，從而有：

，即。

對於二次函式，圖象開口向上，且在x軸上方，所以恆成立，即恆成立。

求參數的取值範圍

例4. 對於函式，若存在，使成立，則稱為的不動點。已知函式，對於任意實數，函式恆有兩個相異的不動點，求a的取值範圍。

解：對任意實數b，恆有兩個相異的不動點對任意實數恆有兩個不等實根對任意實數b，恆有兩個不等實根對任意實數恆成立。

可以將看作關於b的二次函式，則對任意實數恆成立

故的取值範圍是