切線方程

切線方程是研究切線以及切線的斜率方程，涉及幾何、代數、物理向量、量子力學等內容。是關於幾何圖形的切線坐標向量關係的研究。分析方法有向量法和解析法。

基本介紹

• 中文名：切線方程
• 外文名：tangent line equation
• 證明方法：向量法
• 類別：數學領域

定義

切線方程是研究切線以及切線的斜率方程。

方程的證明

向量法

設圓上一點A為,則該點與圓心O的向量

因為過該點的切線與該方向半徑垂直，則有切線方向上的單位向量與向量OA的點積為0.

設直線上任意點B為(x,y)

則對於直線方向上的向量

有向量AB與OA的點積

故有

分析-解析法

設圓上一點A為,則有：

對隱函式求導，則有：

（隱函式求導法亦可證明橢圓的切線方程，方法相同）

或直接（k1為與切線垂直的半徑斜率。）

得（以上處理是假設斜率存在，在後面討論斜率不存在的情況）

所以切線方程可寫為：

將點,可求出

所以:

當斜率不存在時，切點為與x軸平行的直線過圓心與圓的交點。

此類切點有2個，不妨設為

將2點帶入上式，亦成立。

故得證。

常見切線方程的證明

圓

若點M在圓上,

則過點M的切線方程為

或表述為：

若點M在圓上，

則過點M的切線方程為

若已知點M在圓外，

則切點AB的直線方程也為

過圓外一點的2條切線

橢圓

若橢圓的方程為,點P在橢圓上，則過點P橢圓的切線方程為

證明：

橢圓為,切點為,則...(1)

對橢圓求導得, 即切線斜率,

故切線方程是,將(1)代入並化簡得切線方程為。

雙曲線

若雙曲線的方程為,點P在雙曲線上，

則過點P雙曲線的切線方程為

此命題的證明方法與橢圓的類似。

拋物線

若拋物線的方程為, 點P在拋物線上，則過點P的拋物線的切線方程為

此命題的證明方法亦與橢圓的類似，可設切線方程為

聯立切線與拋物線,則

,整理得

因為相切，所以△=0

則

可求得,代回

曲線的切線方程也可以用導數求解。更為簡便的計算方法：

設切線方程為，聯立切線與拋物線

△=0，，解得

切線方程：,化簡得

微積分方法：

在M(a,b)點斜率為求導：

2yy'=2p

代入點（a，b）則

所以切線為：