《分形集的Lipschitz等價分類》是依託華南理工大學，由熊瑛擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：分形集的Lipschitz等價分類
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：熊瑛
- 依託單位：華南理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究分形集（包括自相似集和Moran集）的Lipschitz等價分類及相關問題。Falconer認為在某種意義下，分形幾何就是研究幾何對象的Lipschitz等價分類。與分形集維數理論方面的研究相比，分形集Lipschitz等價分類方面的研究目前還沒有形成成熟的理論和方法，所得到的結果也缺乏系統性。因此開展對相關問題的研究就顯得迫切且更具意義。具體來說，我們將研究自相似集（滿足強分離條件或開集條件）的Lipschitz等價分類，並將所得到的結果和方法運用到對Moran集的研究中去，刻畫某些特殊Moran集類的Lipschitz等價類，引入機率論的方法描述這些等價類的大小，並且研究Moran集BPI等價與Lipschitz等價的關係。.這些問題涉及分形幾何研究的核心內容，相關研究結果能深入刻畫分形集的幾何結構，具有十分重要的理論意義。
結題摘要
本項目研究了分形集的 Lipschitz 等價分類及其相關問題。最重要的結果是：對於完全不連通、滿足開集條件且壓縮比可公度的自相似集，我們得到了這類自相似集的 Lipschitz 等價完全不變數，揭示了 Lipschitz 等價類與理想等價類的一一對應，將自相似集的Lipschitz類數問題與代數數論中的理想類數問題聯繫起來，得到了著名的 Gauss 類數猜測的一個幾何版本。項目還研究了 Moran 集的 Lipschitz 嵌入及擬 Lipschitz 等價問題，以及自相似測度局部維數的發散點的重分形問題。
