《自相似序列的結構及其相關分形集，譜測度和維數》是依託華中科技大學，由文志雄擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：自相似序列的結構及其相關分形集，譜測度和維數
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：文志雄
- 依託單位：華中科技大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
信息的記錄均表為一個序列。而自相似序列在資訊理論及其套用中是非常重要的一類，近三十年來，有關它們的研究已非常深入，與其它學科有廣泛聯繫（如數論、調和分析、分形、遍歷、C*代數、物理、理論計算機與生命信息學等），為交叉性很強的活躍學科。綜合分形幾何、量子化、動力系統與詞上組合等方法技巧，我們可揭示自相似序列的內在性質及表征的信息。特別，可以研究自相似序列及其相關分形集的譜測度和維數等各類性質；它們生成的原子表面和Tiling的分形以及離散Fourier變換譜、薛丁格運算元的譜的結構和維數。反過來，通過得到的這些分形集的性質以及相關的動力學性態和測度的維數，我們也可刻畫原來序列結構及分類。因此本研究涉及到分形幾何、動力系統與序列交叉，同時也是這些研究方向的本質內容。我們將在已有工作的基礎上，推動這些學科的發展，探索新的研究領域，這些理論結果也將套用於工程技術、生命信息學、形式語言和自動機等領域。
結題摘要
本課題研究主要取得了如下成果： （1）結合代換序列的分形問題。Sierpinski地毯與具有重疊結構的自相似集一直是懸而未決的問題，我們利用代換圖遞歸的方式進行了研究，確定了一類滿足Mastrand定理的截集方向。 （2）關於Lipschitz等價類的刻畫的研究，以遞歸疊代產生的一般Sirpinski地毯類作為代表，對部分連通的情形給出了刻畫，此外還獲得部分一般性的結果。 （3）利用Hankel行列式的遞歸式，對結合代換序列的無理測度問題進行了研究，改進了Pade逼近的要求，確定了一類無理測度為2的序列。 （4）擬對稱與加倍測度的問題，對於一大類1維Moran集證明它們都是極小擬對稱的，此外，對原子測度的擬對稱刻畫也獲的了較好的結果。 （5）將2和3字母可逆代換生成系的結果做到多字母的情形和離散的Schraedinger運算元的譜的生成機制與分形結構性質的幾何結構、維數問題繼續深入研究和整理修改中。（6）對於退化的情形，特別是沒有擴張（收縮）的代換，它的Rauzy分形結構則以前完全沒有研究，我們曾對於一類典型的Triplex代換，確定了它的Rauzy分形，基本的Tilling性質，它們相應退化成彼此平行直線上的離散點集，在補空間投影到同一直線的閉包是有界的，Hausdorff維數為1的，而可逆的情形是區間，許多有趣的結果仍在繼續深入。 （7）有關套用研究，我們在已發表的Trapping on modular scale-free and small-world networks with multiple hubs一文中研究了一類標度自由的網路，利用自相似性，利用維數作為工具進行了刻畫。另外，我們還建立一些套用模型並進行了初步研究，相關結果仍待深入以及整理。
