基本介紹
- 中文名：全純域
- 外文名：holomorphic
- 領域：數學
- 定義：刻畫自然邊界的域
- 學科：多複變函數論
- 相關定理：嘉當定理
簡介,概念,域,全純函式,多複變函數論,
簡介
Ω是V中的一個開集。 對於Ω的任意邊界點a，存在Ω上全純函式 f，f不可以延拓到a，那么就稱Ω是全純域。由單復變函式論的結果，複平面上任何開集都是全純域。但是對於多複變函數，就不是那么簡單了。 比如一個圓環(在高維復空間里)就不是全純域； 這時圓環上的任何全純函式都可以延拓到整個多圓柱上。這種現象在複平面上不會發生。我們把這種現象稱為Hartogs現象。著名的嘉當定理告訴我們，全純域就是全純凸域（一種類似於歐氏凸域的凸包）。全純域的研究是多複變函數論的重要課題。
概念
全純域是刻畫自然邊界的域。C中的域Ω稱為全純域，如果不存在比Ω更大的域Ω′(Ω′⊃Ω，Ω′≠Ω)，使得Ω上全部全純函式都能全純地開拓到Ω′上去。複平面C上的域都是全純域，但當n>1時，C中確實存在著非全純的域。例如：
就是非全純域。這是多復變數函式論和單復變數函式論的一個本質差異之處。為了定義全純凸域，先給出全純凸包的概念。設Ω是C中的域，K是Ω的一個子集，
K^={z∈Ω||f(z)|≤|f|，ᗄf∈Hol(Ω)}
稱為K在Ω中的全純凸包，其中Hol(Ω)表示Ω上全體全純函式構成的集合。如果K-⊂Ω且K-是緊的，則稱Ω的子集K相對於Ω是緊的，記為K⊂⊂Ω。現在給出全純凸域的概念。設Ω是C中的域，如果對任意K⊂Ω，從K⊂⊂Ω能推出K^⊂⊂Ω，就稱Ω是全純凸域。
域
設F是域K的子集，對於K的加法和乘法運算，F也做成一個域，則稱F是K的一個子域，K是F的一個擴域，記作K/F，稱K/F為一個域擴張。設，E/F和K/E都是域擴張，則稱E是K/F的一個中間域。設F是域K的子域，T是K的子集，K/F的含T的所有中間域的交仍是K/F的中間域，這個域記作F(T)，稱為F添加T所得到的擴域，或稱T在F上生成的域。當T= {t1，…，tn} 是K的有限子集時，記F(T)=F(t1，…，tn)，稱這個域是在F上有限生成的。特別地，添加一個元素t於F中而得到的擴域F(t)稱為F的單擴域。域F的擴域K可以看成F上的向量空間，如果K在F上的維數是有限的，則稱K是F的有限次擴域，K/F是有限次域擴張。K在F上的維數記作〔K：F〕，稱為K在F上的次數。設E是域擴張K/F的中間域，則〔K：F〕=〔K：E〕〔E：F〕。如果一個域沒有真子域，就稱為一個素域，在同構的意義下，只有有理數域Q和以素數p為模的剩餘類環Z/(p)是素域。任何一個域F的一切子域的交F0是一個素域，如果F0≌Q，則稱F是特徵零的，如果F0≌Z/(p)，則稱F是特徵p的，F的特徵記作CharF。設F是域K的子域，α∈K稱為F上的代數元，如果存在F上的非零多項式f(x)，使得f(α)=0，否則，則稱α是F上的超越元。設K/F是一個域擴張，如果K的每個元都是F上的代數元，則稱K/F是代數擴張，否則稱K/F為超越擴張。設K/F是一個域擴張，設A是K中在F上的代數元的全體，則A是K/F的中間域，稱F在K中的代數閉包。一個域K稱為是代數閉域，如果K〔x〕中每個次數大於零的多項式在K中有一個根。域F的一個擴域Ω稱為F的代數閉包，如果 (1)Ω是代數閉域;(2)Ω是F的代數擴域。任何一個域都有一個代數閉包。設E，E′都是域F的擴域，如果E，E′都域F的某個擴域的子域，而且存在E到E′的同構使F中的元不動 (稱為F-同構)，則稱E與E′在F上共軛，簡稱F-共軛。設E/F是一個域擴張，如果E/F是代數擴張，而且任意與E是F-共軛的域都等於E，則稱E/F是正規擴張。設F是一個域，f(x)∈F[x]，degf(x)>0，如果K是F的擴域，在K[x]中，f(x)=a(x-a1) …(x-an)，a∈F，a1，…，an∈K，而且K=F(a1，…，αn)，則稱K是f(x)在F上的一個分裂域。域F上的次數大於零的多項式f(x)，如果在F的某個代數閉包Ω內的根都是單根，則稱f(x)是可分的，否則就是不可分的。a是域F上的代數元，a滿足的最高次項係數為1的最低的多項式稱為a的極小多項式。設K/F是一個代數擴張，如果K的每個元素在F上的極小多項式都是可分的，則稱K/F是一個可分擴張。只含有限個元素的域稱為有限域，有限域的特徵必是某個素數p。設F含有q個元素，F的素域p含有p個元素，[F： P] =f，則q=pf。兩個有限域同構若且唯若它們有相同的元素個數。設Fg是含有q個元素的有限域，Fg的一切非零元素對於Fg的乘法做成q-1階循環群，從而有限域的有限次擴域都是單擴域。
全純函式
全純函式也叫做解析函式。能局部展成冪級數的函式，它是複變函數論研究的主要對象。解析函式類包括了數學及其在自然科學和技術套用中所遇到的大多數函式，這類函式關於算術、代數和分析的各種基本運算是封閉的，解析函式在其自然存在的域中代表唯一的一個函式，因此，對解析函式的研究具有特殊的重要性。
對解析函式的系統研究開始於18世紀。歐拉在這方面做出許多貢獻。拉格朗日最早希望建立系統的解析函式理論，他曾試圖利用冪級數的工具來發展這種理論，但未獲成功。
法國數學家柯西以他自己的工作被公認為是解析函式理論的奠基者。1814年他定義正則函式為導數存在且連續，他批判了過去許多錯誤的結果，創立了若干法則，以保證級數運算的可靠性。1825年他得到了著名的柯西積分定理，隨後又建立了柯西積分公式。柯西利用這些工具得到了正則函式在它的定義域內處處可表為收斂的冪級數的結果，其逆命題亦真。所以解析和正則是等價的。後來黎曼對柯西的工作做出了重要的發展。1900年，法國數學家古爾薩改善了正則函式的定義，只要求函式在定義域中處處有導數。
外爾斯特拉斯以冪級數為出發點開展對解析函式的研究。他定義正則函式為可以展開為冪級數的函式，創立了解析開拓理論，並利用解析開拓定義完全解析函式。柯西的方法限於研究完全解析函式的所謂單值分支，必須通過解析開拓才能和外爾斯特拉斯的理論統一起來。
多複變函數論
簡稱多復變。它是研究多個獨立復變數的全純函式性質的學科。單複變函數論是研究複平面及黎曼曲面中的域上的解析函式的性質，多複變函數論則是研究n(n≥2)個獨立復變數z=(z1，z2，…，zn)的全純函式：
的性質。為此，首先要將複平面推廣到復歐氏空間，將黎曼曲面推廣到複流形及復空間，然後研究它們的域上的全純函式的性質.出乎意料的是，大多數單複變函數論中的結果，無法平行地推廣到多複變函數的情形，在這種情形下，經典問題有什麼新提法、新形式和新結果，又有什麼新的問題，這正是多複變函數論所要研究的.另一方面，多複變函數論又有著大量的套用。所以多復變數函式論是一個富有生命力的數學分支。
就工具而言，由於多複變函數論中問題的複雜性，所以涉及拓撲、微分方程、微分幾何、代數幾何、抽象代數、李群和泛函分析，以及實變函式論和複變函數論的大量概念和方法，且有自己獨特的處理辦法。
