列維問題(Levi problem)是關於擬凸域和全純域是否等價的問題。
根據嘉當一蘇倫定理，不難證明全純域是擬凸域。困難的、長期未決的是其反面：擬凸域是否一定是全純域?這就是所謂列維問題。
基本介紹
- 中文名：列維問題
- 外文名：Levi problem
- 提出者：林德伯格－列維
- 提出時間：1926
- 所屬領域：數理科學
- 所屬學科：數學
詳細信息,相關研究,
詳細信息
對具有C2邊界的域定義了擬凸域，由此不難證明：具有C2邊界的全純域一定是擬凸域。但在全純域的定義中，對域的邊界沒有要求，這樣就產生了一個問題：對於不具有光滑邊界的全純域，是否也有上述性質？為此，首先要把擬凸域的概念拓廣，使之包括邊界不光滑的域可以給出與邊界的光滑性無關的擬凸域的概念.設Ω是Cn中的域，如果在Ω上存在連續的多重次調和窮竭函式，就稱Ω是擬凸域。可以證明，如果Ω具有C2邊界，那么這裡的擬凸域的概念和前面提到的擬凸域的概念是等價的。對於這裡定義的與邊界的光滑性無關的擬凸域，亦可證明：全純域一定是擬凸域。
列維(Levi,E. E.)在1910年提出一個反問題：擬凸域是否一定是全純域？首先就一些特殊情形，證明上述問題的答案是肯定的。一般的情形就成了有名的列維猜測。1942年，岡潔(Oka,K.)解決了n=2的情形；1954年，諾蓋(Norguet , F.)和布雷默爾曼(Bremermann,J. H.)同時解決了這個問題。複流形上的列維問題是由格勞爾特(Urauert , H.)在1958年用層論的方法解決的.到20世紀60年代中期，科恩(Kohn , J. J.)、赫爾曼德爾(Hormander , L.)等用
運算元的L2估計解決了列維問題.因此，列維問題長期以來對多複變函數論的發展有著重要的影響。
相關研究
列維問題的肯定性解答當n=2時由罔潔最先給出(1942)，其一般情況分別由罔潔、伯格曼和F．諾蓋獨立證明(1953～1954)。列維問題的解決引出了大量的，仍很活躍的推廣性研究。其中，最具重要性的是格勞爾特的工作。它涉及的是對複流形而言的列維問題。全純域在複流形中的類似概念稱為施泰因流形。簡單地說，施泰因流形是這樣的複流形：它是全純凸的，它上面具有足夠多的全純函式以致可以區另Ⅱ不同的點，並給出每一點的局部坐標。於是，對複流形而言的列維問題就變成了：什麼樣的複流形是施泰因流形?格勞爾特對此的回答(1958)是：容許光滑的、窮竭的強多次調和函式存在的複流形是施泰因流形。
解決列維問題的另一種方法是 運算元的L2估計，它在60年代中期得到了迅速的發展。事實上，包括列維問題在內的許多函式論問題，如庫辛問題與龍格型定理及復向量叢上的嘉當定理等，都可以化歸為 問題：證明一般的(即可能是非齊次的)柯西一黎曼方程 u=a(滿足條件 α=0)解的存在性與正則性。從一般的柯西一黎曼方程，自然地得出由(p，q)微分形式的希爾伯特空間到(p，q+1)微分形式的希爾伯特空間的微分運算元，即 運算元。它及它的共軛運算元 *都是線性的稠定的閉運算元。1950年，D．C．斯潘塞在企圖將霍奇理論推廣到開流形時，首先提出了著名的a一紐曼問題：證明方程( *+ * )ψ=α的解的存在性與正則性。這是研究a問題十分有效的手段。因為若加上條件 α=0，在知道了這個方程的解ψ以後，就可以將 問題的解表示成u= *ψ卻。通過一系列先驗估計，J．J．科恩從1963年開始，對於幾類重要的擬凸流形，特別是強擬凸流形，徹底解決了 一紐曼問題。1965年，L．赫爾曼德爾在微分形式的希爾伯特空間引入權函式來直接研究否問題，取得了很大成功。權函式的引入避開了 一紐曼問題中處理解的邊界正則性的難點，使得對於一般的施泰因流形直接得到了內部存在性與正則性。因此在某種意義上，它比 一紐曼問題更適於多複變函數論的套用。同時， 運算元理論的發展，不僅為複流形，特別是施泰因流形的研究提供了強有力的工具，而且促進了擬微分運算元理論的誕生及超定微分方程等分支的發展。
