內部代數

抽象代數中,內部代數是採用了集合的拓撲內部概念的特定類型的代數結構。內部代數之對於拓撲模態邏輯 S4 如同布爾代數之對於集合論和普通命題邏輯。內部代數形成了模態代數的一個

基本介紹

定義,開放和閉合元素,內部代數的態射,同態,拓撲態射,元數學,

定義

內部代數是帶有如下標識(signature)的代數結構<S, ·, +, ', 0, 1, >,其中<S, ·, +, ', 0, 1 >是布爾代數,後綴 是一元運算內部運算元,它滿足如下恆等式:
  1. xx
  2. x=x
  3. (xy)=xy
  4. 1 = 1
x叫做x內部
內部運算元的對偶閉包運算元,定義為x= ((x'))'。x叫做x閉包。通過對偶原理,閉包運算元滿足如下恆等式:
  1. xx
  2. x=x
  3. (x+y)=x+y
  4. 0= 0
如果閉包運算元被選取為原始的,則內部運算元可以定義為x= ((x' ))'。所以內部代數的理論可以使用閉包運算元替代內部運算元來形式化,這種情況下,考慮的是形如 <S, ·, +, ', 0, 1,> 的閉包代數,這裡的 <S, ·, +, ', 0, 1 > 是布爾代數而 是滿足上述恆等式的閉包運算元。閉包代數和內部代數形成了對偶對,它們是“帶有運算元的布爾代數”的例證。關於這個主題(主要是波蘭拓撲學)的早期文獻涉及了閉包運算元,但是內部運算元的形式化最終成為標準。

開放和閉合元素

內部代數的元素被稱為的,若且唯若x=x,開元素的被稱為的並,這也等價於x=x。顯然,一個元素的內部總是開的而閉包總是閉的。
既開又閉的元素叫做閉開的。顯然,0 和 1 是閉開的。
閉元素的內部稱為正規開的,開元素的閉包稱為正規閉的。
內部代數稱為布爾的,若它的元素都是開的(因此是閉開的)。布爾內部代數可以同一於普通布爾代數,因為它們的內部和閉包運算元不提供有意義的額外結構。特殊情況是平凡內部代數類,它們是特徵化為恆等式 0 = 1 的單一元素的內部代數。

內部代數的態射

同態

內部代數作為代數結構的優點是有同態。給定兩個內部代數AB,映射f:AB內部代數同態若且唯若f是底層布爾代數AB之間的同態,它還保持內部和閉包。所以:
  • f(x) =f(x);
  • f(x) =f(x)。

拓撲態射

拓撲態射(topomorphism)是另一種重要的更一般性的在內部代數之間的態射。映射f:AB是拓撲態射,若且唯若f是在底層布爾代數AB上的同態,並且還保持A的開放和閉合元素。所以:
  • 如果xA中開放的,則f(x) 在B中是開放的;
  • 如果xA中閉合的,則f(x) 在B中是閉合的。
所有內部代數同態都是拓撲態射,當時不是所有拓撲態射都是內部代數同態。

元數學

Gregorczyk 證明了閉包代數的基本理論的不可決定性。

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