保角映射

保角映射是複變函數最重要的概念之一，它可以將比較複雜的區域上的問題轉化到比較簡單的區域上進行研究。成功地解決了流體力學、空氣動力學、彈性力學、電學等學科中的許多實際問題。

基本介紹

• 中文名：保角映射
• 外文名：conformal mapping
• 領域：數學
• 映射性質：保角性，伸縮率不變性
• 條件：在區域內處處解析
• 套用領域：流體力學、空氣動力學、電學等

概念

設函式w=f(z)在區域D內解析， 且 ．過點 任意引一條有向光滑曲線 且 ，則曲線C在點 處的切線存在，其傾角為 ．

映射w=f(z)把z平面內的曲線C映射成 平面內過點 的一條有向光滑曲線

由於 ．故曲線 在點 處切線存在．其傾角為

上式表明，象曲線 在 的切線方向可由曲線C在 處的切線方向旋轉一個角度 得出．稱 為函式w=f(z)在點 處的旋轉角．顯然， 只與 有關，與過點 的曲線C的形狀無關，這一性質稱為旋轉角的不變性．

由於映射w=f(z)使所有經過點 的曲線都旋轉同一個角度，所以相交於點 的任意兩條曲線 和 的夾角，其大小和方向都等於映射後的象曲線 和 的夾角，如圖1所示，這一性質稱為保角性．

圖1

假設 ，則 ，於是

上式表明在點 的某鄰域內自變數改變數的模 和函式值改變數的模 在忽略高階無窮小的情況下有關係式 ，即在點 附近象曲線伸長到原象曲線的R倍。R反映了在映射w=f(z)下，z平面上C曲線在點 處弧長的伸縮率，這是導數模的幾何意義；並且伸縮率 ，它僅與點 有關，而與過點 的曲線C的形狀、方向無關，這一性質稱為伸縮率的不變性，

綜上所述，可得定理1，

定理1： 設函式w=f(z)在區域D內解析， 為D內的一點，且 ，則映射w=f(z)在點 處具有：

(1)保角性，即過點 的兩條曲線問的夾角與映射後所得兩曲線間的夾角在大小和方向上保持不變；

(2)伸縮率不變性，即通過點 的任何一條曲線的伸縮率均為 ，而與曲線的形狀和方向無關。

若函式w=f(z)在點 的鄰域內有定義，且在點 處具有：

(1)保角性：

(2)伸縮率的不變性；

則稱映射w=f(x)在點 處是保角的。

若映射w=f(z)在區域D內的每一點都是保角的，則稱w=f(z)是區域D內的保角映射。

可知，若函式w=f(z)在區域D內解析，且對任意點 ，有 ，則w=f(z)在D內是保角映射。

幾種簡單的保角映射

1．分式線性映射

定義： 形如

的映射稱為分式線性映射．其中a、b、c、d是復常數．而且 .

當c=0時， ．

當 時， ．

分式線性映射可以分解為如下基本形式的映射：

因此，分式線性映射可以看作是 和 兩種映射的複合．

例如，z平面上以 為頂點的長方形，經過保角映射

變換成 平面上以2-i，3，i，1+2i為頂點的長方形，其變換過程如圖2所示.

圖2

可見，整式線性映射是不改變圖形相似形狀的變換，它在整個複平面上是處處保角、一一對應的．又由於該映射能把z平面上的圓周映射成訓平面上的圓周，所以這一性質稱為整式線性映射的保圓性．

映射 稱為倒數映射，它也是保角映射．

2．指數函式 所確定的映射

由於 在複平面內處處解析，且 ，所以指數函式 所確定的映射是保角映射．

又由於 以 為周期，所以只需討論當z在由 所定義的帶形區域B中變化時，函式 的映射性質．

設 的實部及虛部分別為u及v，在帶形區域B中，z從左向右描出一條直線 ，如圖3所示，則 ，於是 從0(不包括0)增大到 ．而 保持不變。所以， 描出一條射線 (不包括0)，如圖3(b))所示。

圖3

指數函式 確定了從帶形區域B： 到 平面除去原點和正實軸的保角映射．可見 將 保角映射為上半平面 ；而把 保角映射為下半平面 ．

映射 的特點是：將擴充z平面上的水平帶形區域 映射成擴充 平面的角形區域 ( 時，此角形區域為上半平面)．