代數方程組

代數方程組(system of algebraic equations)是由多個n元多項式方程所構成的方程組，由數域P上m個n元多項式f_i(x₁，x₂，…，x_n)(i=1，2，…，m)組成的方程組稱為數域P上的代數方程組，若x₁=α₁，x₂=α₂，…，x_n=α_n滿足方程組中的每一個方程，則稱它們為代數方程組的一個解。當代數方程組中每個方程的次數≤1時，則代數方程組就是通常的線性方程組；當代數方程組中m=n=1時，代數方程組就是通常的一元n次方程，因此，代數方程組可以看成是線性方程組與一元n次方程的推廣和發展，研究代數方程組的解及其性質屬於代數幾何。在古代巴比倫和1300年前後朱世傑所著《四元玉鑒》中，都曾討論過二元、三元和四元的高次方程組，但較系統地研究卻遲至16世紀，正式討論已到18世紀，主要由研究高次代數曲線f(x，y)=0，g(x，y)=0的交點數而引起的，貝祖(É.Bézout)於1779年在其所著《代數方程的一般理論》中給出用消元法求解代數方程組的方法。

基本介紹

• 中文名：代數方程組
• 外文名：system of algebraic equations
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：代數幾何
• 簡介：多個n元多項式方程構成的方程組

基本介紹

代數方程組是由多個n元多項式方程所構成的方程組，由數域P上m個n元多項式f_i(x₁，x₂，…，x_n)(i=1，2，…，m)組成的方程組

稱為數域P上的代數方程組，若x₁=α₁，x₂=α₂，…，x_n=α_n滿足方程組中的每一個方程，則稱它們為代數方程組的一個解。當代數方程組中每個方程的次數≤1時，則代數方程組就是通常的線性方程組；當代數方程組中m=n=1時，代數方程組就是通常的一元n次方程，因此，代數方程組可以看成是線性方程組與一元n次方程的推廣和發展，研究代數方程組的解及其性質屬於代數幾何。

代數方程組相關性

代數方程組相關性是一多項式組與另一多項式關係的一種描述。設有一多項式組PS和一多項式g，欲問PS的零點集或零點集的某些子集是否是g的零點集的子集，這即是方程組與方程g的相關性問題。在里特-吳整序原理的基礎上，相關性問題可以有更清晰的表述：設已給升列

AS={f_i(u₁，u₂，…，u_d，x₁，x₂，…，x_i)， i=1，2，…，s}

和多項式g(u₁，u₂，…，u_d，x₁，x₂，…，x_i)，並設f_i關於主元x_i為m_i次，則AS的零點集可以分為m₁m₂…m_s個支，每一支可用以u₁，u₂，…，u_d為變元的一組代數函式

表示，欲問這m₁m₂…m_s個零點集分支中，有多少個分支是g的零點集的子集，這是代數方程組相關性問題的一種明確而自然的提法，也是定理機器證明的一個基本理論問題.張景中、楊路等人提出的λ結式法，完全地解決了這一問題：設AS是真升列，引進獨立變元λ，作AS關於g+λ的結式

Res(f₁，f₂，…，f_s，g+λ)，

它是關於λ與u₁，u₂，…，u_d的多項式.設此多項式關於λ的最低次數為k，則在AS的零點集的m₁m₂…m_s個分支中，恰有k個是g的零點集的子集。這一方法可以在微機上實現，用以處理難度較大的幾何定理的機器證明。

代數方程組的解法

代數方程組的求解方法通常可以歸結為兩類:直接解法和疊代解法。所謂直接解法,是指通過有限步的數值計算獲得代數方程組真解的方法;而疊代解法往往是先假定一個關於求解變數的場分布,然後通過逐次疊代的方法,得到所有變數的解。採用疊代解法求得的解一般為近似解。

典型的直接解法有Cramer矩陣求逆法和Gauss消元法。Cramer矩陣求逆法通常只適用於方程組規模較小的情況，而Gauss消元法則要先將係數矩陣通過消元轉化為上三角陣,然後逐一回代,從而求得方程組的解。Gauss消元法雖然比Cramer矩陣求逆法更能夠適應較大規模的方程組,但效率仍然不及疊代解法高。

目前常用的疊代解法有Jacobi疊代法和Gauss-Seidel疊代法。這兩種方法均可以非常容易地在計算機上實現，但當方程組規模較大時,收斂速度往往較慢。

對於一個給定的代數方程組，直接解法更有效還是疊代解法更有效，取決於代數方程組的大小和性質。一般來講，當方程組中方程的個數足夠多時，疊代解法可能更省時。當代數方程組為線性方程組時，直接解法可能更有效。若方程組為非線性方程組，則必須採用疊代解法求解，每一次疊代得到的中間結果並不追求其計算精度，因而疊代解法效果可能更好。

線性代數方程組數值解法

線性代數方程組的數值解法是計算數學的一個基本組成部分。在自然科學和工程技術的許多問題中，例如結構分析、網路分析、大地測量、數據分析、最最佳化等問題中常常遇到線性代數方程組求解問題;數學中，例如求解非線性方程組或微分方程數值解問題也常轉化為線性代數方程組求解問題來解。

線性代數方程組數值解法有著悠久的歷史。中國古代數學著述《九章算術》(公元1世紀)的“方程”章中就已有了較好的線性代數方程組數值解法——相當於現代的對方程組的增廣矩陣進行初等變換、消去未知量的方法。中世紀的印度數學家也可以求解線性方程組。例如12世紀的婆什迦羅的著作中，也有求解線性方程組的內容。在歐洲，16世紀的比特奧在其《算術》(1559)中採用了與《九章算術》類似的消元法。日本數學家關孝和在其《解伏題之法》一書(1683)中首先利用了類似於現在的“行列式”法求解了三元線性方程組。稍後，萊布尼茨提出關於行列式解線性方程組的思想(1693)。1721年馬克勞林用行列式展開式的方法給出了二元、三元、四元線性方程組的解法，但他的符號記法不完善。1750年，克萊姆給出現在比較通用的線性方程組行列式解法，即克萊姆法則。1764年，貝祖用行列式建立了線性方程組的一般理論。但由於當時計算的效率很低，這一理論幾乎只有理論上的意義，實際上只能求出未知數很少的線性代數方程組的解。只是在20世紀中葉電子計算機問世並投入套用之後，大型線性代數方程組的數值求解才成為可能。如何利用計算機更精確、更有效地解大型線性代數方程組，是計算數學研究中最重要的課題之一。

現代計算實踐中，常用的線性代數方程組的數值解法有直接法和疊代法兩大類。直接法是在沒有捨入誤差的假設下，經過有限次運算就可得出方程組的精確解的方法，如各種消元法。疊代法則採取逐次逼近的方法，即從一個初始向量出發，按照一定的計算格式(疊代公式)，構造一個向量的無窮序列，其極限才是方程組的精確解，用有限次運算得不到精確解。疊代法是牛頓最先提出來的;1940年，紹司威爾提出的鬆弛法也是一種疊代法;共軛梯度法則是另一種疊代法，是R.弗萊徹等人於20世紀60年代提出來的。