正規方程

最小二乘法可以將誤差方程轉化為有確定解的代數方程組（其方程式數目正好等於未知數的個數），從而可求解出這些未知參數。這個有確定解的代數方程組稱為最小二乘法估計的正規方程（或稱為法方程）。

基本介紹

• 中文名：正規方程
• 外文名：regular expression
• 套用學科：數學術語
• 範疇：數理科學
• 涉及：線性參數
• 屬於：最小二乘法

基本信息

為了獲得更可靠的結果，測量次數 總要多於未知參數的數目 ，即所得誤差方程式的數目總是要多於未知數的數目。因而直接用一般解代數方程的方法是無法求解這些未知參數的。最小二乘法則可以將誤差方程轉化為有確定解的代數方程組（其方程式數目正好等於未知數的個數），從而可求解出這些未知參數。這個有確定解的代數方程組稱為最小二乘法估計的正規方程（或稱為法方程）。

線性參數的最小二乘法處理程式可歸結為：首先根據具體問題列出誤差方程式；再按最小二乘法原理，利用求極值的方法將誤差轉化為正規方程；然後求解正規方程，得到待求的估計量；最後給出精度估計。對於非線性參數，可先將其線性化，然後按上述線性參數的最小二乘法處理程式去處理。因此，建立正規方程是待求參數最小二乘法處理的基本環節。

線性參數

線性參數的誤差方程式為

在精度測量中，應滿足最小二乘條件式，即： 最小。

現求上式子的估計量 ， ， ， 可利用求極值的方法來滿足上式的條件。為此，對殘餘誤差的平方和 求導數，並令其為零，有

用高斯符號表示有

則可得

同理有

注意到上式中各二階偏導數恆正，即

由此可知，上面各方程求得的極值是最小值，滿足最小二乘條件，因而也是所要求的估計量，最後把它寫成

上式即為等精度測量的線性參數最小二乘法處理的正規方程。這是一個 元線性方程組，當其係數行列式不為零時，有唯一確定的解，由此可解得欲求的估計量。