三角形元素

三角形元素(elements of triangle)是三角學的基本概念之一，三角形的三邊(或它們的長度)和三內角(或它們的大小)以及由它們所確定的幾何圖形(或相應的幾何量)統稱三角形的元素。其中，三角形的三邊a，b，c及三內角A，B，C稱為三角形的基本元素，除此之外的三角形的元素稱為三角形的非基本元素。例如，三角形的外角、周長、高、中線、角平分線及外接圓半徑、內切圓半徑、旁切圓半徑、三角形的面積等都是三角形的非基本元素。

基本介紹

• 中文名：三角形元素
• 外文名：elements of triangle
• 所屬學科：數學（幾何學）
• 屬性：三角學的基本概念之一
• 相關概念：三角形

基本介紹

一個三角形的邊、角、中線、高線、角平分線、周長、面積等都叫做三角形的元素。三角形的邊和角叫做三角形的基本元素。如圖1所示，和它們的對邊是的基本元素。其它的的三角形元素稱為三角形的非基本元素。

圖1

重要的三角形元素

(1)中線和重心：連線三角形的一個頂點與對邊中點的線段叫作中線，三角形內的三條中線的交點為重心。重心定理: 三角形的重心與頂點的距離等於它與對邊中點的距離的兩倍。

(2)高和垂心：從三角形的一個頂點向對邊作垂線，頂點與垂足間的線段叫作三角形的高，三條高的交點叫作垂心。銳角三角形的垂心在三角形內，直角三角形的垂心就是直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形外。

(3)角平分線和內心：三角形的一個內角的平分線與對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作角平分線。三條角平分線的交點就是內心，也是三角形內切圓的圓心。對於角平分線，有性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

(4)外心：三角形外接圓的圓心也是三角形三邊垂直平分線的交點，由於垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，所以外心到三角形三個頂點的距離相等。

(5)中位線：連線三角形兩邊中點的線段叫作三角形的中位線，三角形的中位線平行於第三邊。並且等於它的一半。

一般三角形的性質

(1) 三角形三邊的關係：三角形的任意兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。

(2) 三角形內角和定理：。

(3) 三角形的任意一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。

(4) 三角形面積公式：

(海侖公式)，其中 是邊上的高，角C是a，b邊所夾的角，p為三角形的半周長。