四邊形

由不在同一直線上的四條線段依次首尾相接圍成的封閉的平面圖形或立體圖形叫四邊形，由凸四邊形和凹四邊形組成。順次連線任意四邊形上的中點所得四邊形叫中點四邊形，中點四邊形都是平行四邊形。菱形的中點四邊形是矩形，矩形中點四邊形是菱形，等腰梯形的中點四邊形是菱形，正方形中點四邊形就是正方形。

基本介紹

• 中文名：四邊形
• 外文名：Quadrilateral
• 定義：四條線段首尾相接圍成的封閉圖形
• 特點：四條邊、封閉圖像
• 分類：凸四邊形和凹四邊形
• 學科：數學

簡介

定義

由不在同一直線上的四條線段依次首尾相接圍成的封閉的平面圖形或立體圖形叫四邊形。

凸四邊形

四個頂點在同一平面內，對邊不相交且作出一邊所在直線牛達烏，其餘各邊均在其同側。

平行四邊形(包括：普通平行四邊形，矩形，菱形，正方形)。

梯形(包括：普通梯形，直角梯形，等腰梯形)。

凸四邊形的內角和和外角和均為360度。

凹四邊形

凹四邊形四個頂點在同一平面內，對邊不相交且作出一邊所在直線，其餘各邊有些在其異側。

依次連線四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形。不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形。中點四邊形的形狀取決於原四邊形的對角線。若原四邊形的對角線垂直，則中點四邊形為矩形；若原四邊形的對角線相等，則中點四邊形為菱形；若原四邊形的對角線既垂直又相等，則中點四邊形為境兵射正方形。

不穩定性

四邊形不具有三角形的穩定性，易於變形。但正是由於四邊形不穩定具有的活動性，使其在生活中有廣泛的套用，如拉伸門等拉伸、摺疊結構。

平行四邊形

定義

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形(parallelogram)。

平行四邊形

性質

（1）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對邊分別相等。

（簡述為“平行四邊形的兩組對邊分別相等”）

（2）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對角分別相等。

（簡述為“平行四邊形的兩組對角分別相等”）

（3）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的鄰角互補

（簡述為“平行四邊形的鄰角互補”）

（4）夾在兩條平行線間的平行線段相等。

（5）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩條對角線互相平分。

（簡述為“平行四邊形的對角線互相平分”）

判定

（1）如果一個四邊形的兩組對邊分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形。

（簡述為“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”）

（2）如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形。

（簡述為“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊墓元埋形”）

（3）如果一個四邊形的兩條對角線互相平分，那么這個四邊形是平行四邊形。

（簡述為“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”）

（4）如果一個四邊形的兩組對角分別淋戰相等，那么這個四邊形是平行四邊形。

（簡述為“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”）

（5）如果一個四邊形的兩組對邊分別平行，那么這個四邊形是平行四邊形。

（簡述為“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”）

面積

平行四邊形的面積公式：底×高， 用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四邊形面積，則S=ah。

周長

平行四邊形的周長=2×兩鄰邊的和，用“a”、“b”表示兩鄰邊，“C”表示平行四邊形的周長，則C=2（a+b）。

矩形

定義

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形(rectangle)。

矩形

性質

（1）矩形的四個角都是直角；

（2）矩形的對角線相等且互相平分。

判定

（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形：

（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；

（3）對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；

（4）有三個角是直角的四邊形是矩形（兩個角是直角的同旁內角的四邊形不是矩形估照婚刪是梯形）。

面積

設矩形的兩條鄰邊長分別為a，b，則面積(S)為ab。

周長

設矩形的兩條鄰邊長分別為a，b，多良驗則周長（C)為2(a+b)。

菱形

定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形(rhombus)。

菱形

性質

（1）菱形的四條邊都相等；

（2）菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角。

注意：菱形也具有平行四邊形的一切性質。

判定

（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

（2）四條邊都相等的四邊形是菱形；

（3）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

（4）有一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形；

（5）對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形。

面積

（1）對角線乘積的一半（只要是對角線互相垂直的四邊形都可用）；

（2）設菱形的邊長為a，一個夾角為x°，則面積公式是:S=a^2·sinx。

周長

菱形周長=邊長×4 用“a”表示菱形的邊長，“C”表示菱形的周長，則C=4a。

正方形

定義

有一組鄰邊相等並且有一角是直角的平行四邊形叫做正方形(square)。

性質

（1）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；

（2）正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。

判定

因為正方形具有平行汗趨歡狼四邊形、矩形、菱形的一切性質，所以判定正方形有三個途徑：

（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形。（矩形+有一組鄰邊相等=正方形）

（2）有一個角是直角的菱形是正方形。（菱形+有一個角是直角=正方形）

（3）兩條對角線相等，且互相垂直平分的四邊形是正方形。

面積

（1）正方形面積=邊長的平方S=a×a（S表示正方形的面積，a表示正方形的邊長）。

（2）對角線乘積的一半。

周長

正方形周長=邊長×4 用“a”表示正方形的邊長，“C”表示正方形的周長，則C=4a。

梯形

定義

梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形(trapezium)（一組對邊平行且不相等的四邊形叫做梯形）。

等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形(isosceles trapezium)。

梯形

直角梯形：一腰垂直於底的梯形叫做直角梯形。

性質

（1）等腰梯形兩腰相等、兩底平行；

（2）等腰梯形在同一底上的兩個內角相等；

（3）等腰梯形的對角線相等(可能垂直）；

（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，一底的垂直平分線是它的對稱軸。

判定

（1）兩腰相等的梯形是等腰梯形。

（2）在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。

（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。

面積

（1）梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2。

（2）梯形面積=梯形中位線×高。

周長

梯形的周長=上底+下底+腰+腰 用“a”、“b”、“c”、“d”分別表示梯形的上底、下底、兩腰，“C”表示梯形的周長，則c=a+b+c+d。

圓內接四邊形

定義

四邊形的四個頂點均在同一個圓上的四邊形叫做圓內接四邊形。

圓內接四邊形

性質

（1）圓內接四邊形的對角互補。

（2）圓內接四邊形的任意一個外角等於它的內對角。

（3）圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。（托勒密定理）

判定

如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點在同一個圓上。

面積

圓內接四邊形面積S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]。（a,b,c,d為四邊形的四邊長，其中P=(a+b+c+d)/2）

對角線

定義

連線四邊形任意兩個不相鄰頂點的線段（四邊形有兩條對角線）。

性質

四邊形面積等於兩條對角線的積的一半。

例：四邊形ABCD中，AC⊥BD ，則S□ABCD=1/2·AC·BD

特殊

對角線垂直的特殊四邊形有：菱形、正方形、特殊梯形。

（4）如果一個四邊形的兩組對角分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形。

（簡述為“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”）

（5）如果一個四邊形的兩組對邊分別平行，那么這個四邊形是平行四邊形。

（簡述為“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”）

面積

平行四邊形的面積公式：底×高， 用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四邊形面積，則S=ah。

周長

平行四邊形的周長=2×兩鄰邊的和，用“a”、“b”表示兩鄰邊，“C”表示平行四邊形的周長，則C=2（a+b）。

矩形

定義

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形(rectangle)。

矩形

性質

（1）矩形的四個角都是直角；

（2）矩形的對角線相等且互相平分。

判定

（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形：

（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；

（3）對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；

（4）有三個角是直角的四邊形是矩形（兩個角是直角的同旁內角的四邊形不是矩形是梯形）。

面積

設矩形的兩條鄰邊長分別為a，b，則面積(S)為ab。

周長

設矩形的兩條鄰邊長分別為a，b，則周長（C)為2(a+b)。

菱形

定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形(rhombus)。

菱形

性質

（1）菱形的四條邊都相等；

（2）菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角。

注意：菱形也具有平行四邊形的一切性質。

判定

（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

（2）四條邊都相等的四邊形是菱形；

（3）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

（4）有一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形；

（5）對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形。

面積

（1）對角線乘積的一半（只要是對角線互相垂直的四邊形都可用）；

（2）設菱形的邊長為a，一個夾角為x°，則面積公式是:S=a^2·sinx。

周長

菱形周長=邊長×4 用“a”表示菱形的邊長，“C”表示菱形的周長，則C=4a。

正方形

定義

有一組鄰邊相等並且有一角是直角的平行四邊形叫做正方形(square)。

性質

（1）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；

（2）正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。

判定

因為正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質，所以判定正方形有三個途徑：

（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形。（矩形+有一組鄰邊相等=正方形）

（2）有一個角是直角的菱形是正方形。（菱形+有一個角是直角=正方形）

（3）兩條對角線相等，且互相垂直平分的四邊形是正方形。

面積

（1）正方形面積=邊長的平方S=a×a（S表示正方形的面積，a表示正方形的邊長）。

（2）對角線乘積的一半。

周長

正方形周長=邊長×4 用“a”表示正方形的邊長，“C”表示正方形的周長，則C=4a。

梯形

定義

梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形(trapezium)（一組對邊平行且不相等的四邊形叫做梯形）。

等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形(isosceles trapezium)。

梯形

直角梯形：一腰垂直於底的梯形叫做直角梯形。

性質

（1）等腰梯形兩腰相等、兩底平行；

（2）等腰梯形在同一底上的兩個內角相等；

（3）等腰梯形的對角線相等(可能垂直）；

（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，一底的垂直平分線是它的對稱軸。

判定

（1）兩腰相等的梯形是等腰梯形。

（2）在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。

（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。

面積

（1）梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2。

（2）梯形面積=梯形中位線×高。

周長

梯形的周長=上底+下底+腰+腰 用“a”、“b”、“c”、“d”分別表示梯形的上底、下底、兩腰，“C”表示梯形的周長，則c=a+b+c+d。

圓內接四邊形

定義

四邊形的四個頂點均在同一個圓上的四邊形叫做圓內接四邊形。

圓內接四邊形

性質

（1）圓內接四邊形的對角互補。

（2）圓內接四邊形的任意一個外角等於它的內對角。

（3）圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。（托勒密定理）

判定

如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點在同一個圓上。

面積

圓內接四邊形面積S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]。（a,b,c,d為四邊形的四邊長，其中P=(a+b+c+d)/2）

對角線

定義

連線四邊形任意兩個不相鄰頂點的線段（四邊形有兩條對角線）。

性質

四邊形面積等於兩條對角線的積的一半。

例：四邊形ABCD中，AC⊥BD ，則S□ABCD=1/2·AC·BD

特殊

對角線垂直的特殊四邊形有：菱形、正方形、特殊梯形。