依次連線任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形。中點四邊形的形狀與原四邊形的對角線的數量和位置關係有關。
注意：對於對角線互相垂直的四邊形，連線各邊中點所得的四邊形一定是矩形。
矩形的判定方法：
1.有一個角是直角的平行四邊形是矩形 2.對角線相等的平行四邊形是矩形 3.有三個角是直角的四邊形是矩形
基本介紹
- 中文名：中點四邊形
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：數學等
定義,和原圖形關係,形狀,周長,面積,
定義
依次連線任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形。
和原圖形關係
形狀
不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形。
已知：如圖2，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為各邊中點。連線EF，FG，GH，HE。求證：四邊形EFGH為平行四邊形。
證明：連線AC,BD
∵E,H,G,F是邊AB,AD,DC,BC中點
∴EH,GF是△ABD,BCD的中位線
∴EH=1/2BD,GF=1/2BD,EH//BD,GF//BD
∴EH平行等於GF
∴EFGH是平行四邊形
順次連線各邊中點所得的四邊形(中點四邊形只與原四邊形的對角線有關）
若原四邊形對角線相等,則中點四邊形為菱形;
若原四邊形對角線互相垂直,則中點四邊形為矩形;
若原四邊形對角線互相垂直又相等,則中點四邊形為正方形.
所以一些特殊的四邊形的中點四邊形如下:
平行四邊形-------平行四邊形
矩形-------菱形
菱形-------矩形
正方形-------正方形
等腰梯形-------菱形
梯形-------平行四邊形
周長
中點四邊形的周長是原四邊形兩條對角線之和的長度。
面積
中點四邊形的面積是原圖形的一半.
圖1.1
圖1.1已知：如圖1.1，所示四邊形EFGH是四邊形ABCD的中點四邊形.
求證：
S四邊形ABCD= S四邊形EFGH.
引證：如圖1.2，在△ABC中，點D,E,F分別是各邊中點，依次連線點 D,E,F,
則DE,EF,DF是△ABC的中位線.
∴DE∥BC,EF∥AB,DF∥AC.
∴四邊形ADFE,BDEF,DECF是平行四邊形,
∴
圖1.2
圖1.2證明：∵在四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別為各邊中點，
∴EF是△ABC的中位線，FG是△BCD的中位線；
GH是△ACD的中位線，EH是△ABD的中位線.
∴由引證可得
∴ S四邊形ABCD=S四邊形EFGH.
證畢
