基本介紹
- 中文名：萊克塞爾定理
- 外文名：Lexell theorem
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：球面多邊形
- 簡介：關於球面上點的軌跡的一個定理
- 提出者：萊克塞爾(А.И.Лекселъ)
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基本介紹
萊克塞爾(Lexl)定理 設給定球面三角形的面積和兩個頂點，則第三個頂點的軌跡由兩個小圓組成，這兩圓通過兩已知頂點的對徑點。
萊克塞爾(Lexl)定理的證明
介於相交的兩個半大圓之間的球面部分，稱為球面月形，換言之，即球面被以一直徑為棱的二面角所截的部分。這兩半大圓的交角，即這二面角的度量，稱為月形的角(圖1)，於是有
定理1 同球兩月形之比等於它們的角之比。
注意：
1.角相等的兩個月形角是全等的，因為迭合了它們相應的二面角，它們便迭合了。
2.以兩月形A, B的角之和為角的月形C,其面積為A, B面積之和，只要使兩月形成為相鄰的，就顯然了(圖1)，而由1，我們是可以這樣辦的。
從上面所指出的兩點，可以推出我們想要證明的命題。
系 月形的面積是它的角的兩倍(在所設的單位制下)。
因為角為直角的月形顯然是球面的四分之一，因此它的面積是數π，至於它的角則為π/2。
由於這個月形面積的度量與角的度量之比等於2，所以對於一切其他月形也如此。
圖1 月形的角
引理兩個互相對稱的球面三角形是等積的。
定理2球面三角形的面積是它的角的和與π的差。
證明 設ABC是所考慮的三角形，A',B' ,C'是A,B,C的對徑點(圖2)，以三角形ABC的∠A為角的月形，由三角形ABC加上三角形BCA'所組成，即：
月形∠A=△ABC+△BCA'，
同理：
月形∠B=△ABC+△ACB'，
月形∠C=△ABC+△ABC'。
但在最後的等式中,三角形ABC'可以用它的等積三角形A'B'C'來代替（上述定理），於是將三等式相加，並注意三角形ABC, BCA' , CAB' ,A'B'C之和，就是被大圓AB所決定的丙半球之一，因而以2π為度量，便得
月形∠A+月形∠B+月形∠C=2△ABC+2π；
由於月形∠A =2∠A，月形∠B=2∠B，月形∠C=2∠C，所以
△ABC=∠A+∠B+∠C-π。
圖2
萊克塞爾(Lexl)定理的證明 設C(圖2)為動頂點，A,B為已知點，A',B’為A,B的對徑點，我們知道了三角形ABC三角的和，但三角形A'B'C的∠CA'B'和∠CB'A'分別等於∠CAB'和∠CBA'，即等於∠A和∠B的補角，因此，和∠A+∠B+∠C可寫作∠C+2π-∠CA'B' -∠CB'A'，所以我們知道了∠CA'B' +∠CB'A'-∠C，於是點C的軌跡由通過A'，B'的兩小圓組成。
球面四邊形的Lexell定理
球面四邊形的Lexell定理(Lexell’S theorem for a sphericalquadrilateral)：
球面四邊形ABCD內接於小圓的充分必要條件是：∠A+∠C=∠B+∠D。
本題選自Lexell，Acta petropolitana(1782)。
Lexell是俄國數學家萊克塞爾(А.И.Лекселъ，1740~1784)，在球面三角、球面幾何方面發表過四卷集的專著。例如，他給出了如下定理：若給定球面三角形的兩個頂點及面積，則第三頂點的軌跡是兩個小圓，它們通過已知頂點的對徑點。
與平面幾何對照，這個定理與平面上四點共圓定理相仿，若令球面半徑趨於無窮大，球面四邊形的角盈趨於零，則該定理即演化為平面上的四點共圓定理。
