伽瑪函式

伽瑪函式（Gamma函式），也叫歐拉第二積分，是階乘函式在實數與複數上擴展的一類函式。該函式在分析學、機率論、偏微分方程和組合數學中有重要的套用。與之有密切聯繫的函式是貝塔函式，也叫第一類歐拉積分。可以用來快速計算同伽馬函式形式相類似的積分。

基本介紹

• 中文名：伽瑪函式
• 外文名：Gamma Function
• 別名：歐拉第二積分
• 所屬學科：微積分

函式簡介

伽瑪函式（Gamma Function）作為階乘的延拓，是定義在複數範圍內的亞純函式，通常寫成 。

（1）在實數域上伽瑪函式定義為：

（2）在複數域上伽瑪函式定義為：

其中 ，此定義可以用解析開拓原理拓展到整個複數域上，非正整數除外。

複平面上的Gamma 函式

（3）除了以上定義之外，伽馬函式公式還有另外一個寫法：

我們都知道 是一個常用積分結果，公式（3）可以用 來驗證。

（4）伽馬函式還可以定義為無窮乘積：

不完全Gamma函式

詳見不完全伽馬函式

歷史背景

1728年，哥德巴赫在考慮數列插值的問題，通俗的說就是把數列的通項公式定義從整數集合延拓到實數集合，例如數列1,4,9,16.....可以用通項公式n²自然的表達，即便 n 為實數的時候，這個通項公式也是良好定義的。直觀的說也就是可以找到一條平滑的曲線y=x²通過所有的整數點(n,n²),從而可以把定義在整數集上的公式延拓到實數集合。一天哥德巴赫開始處理階乘序列1,2,6,24,120,720,...,我們可以計算2!,3!,是否可以計算2.5!呢？我們把最初的一些(n,n!)的點畫在坐標軸上，確實可以看到，容易畫出一條通過這些點的平滑曲線。

但是哥德巴赫無法解決階乘往實數集上延拓的這個問題，於是寫信請教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼爾·伯努利，由於歐拉當時和丹尼爾·伯努利在一塊，他也因此得知了這個問題。而歐拉於1729 年完美地解決了這個問題，由此導致了伽瑪 函式的誕生，當時歐拉只有22歲。

函式性質

1、通過分部積分的方法，可以推導出這個函式有如下的遞歸性質：

於是很容易證明，伽馬函式可以當成是階乘在實數集上的延拓，對於正整數n，具有如下性質：

2、與貝塔函式的關係：

3、在機率的研究中有一個重要的分布叫做伽瑪分布：

其中 。

4、對 ，有

這個公式稱為余元公式。

由此可以推出以下重要的機率公式：

5、對於 ，伽馬函式是嚴格凹函式。

6、伽馬函式是亞純函式，在複平面上，除了零和負整數點以外，它全部解析，而伽馬函式在 處的留數為

Stirling公式

Gamma 函式從它誕生開始就被許多數學家進行研究，包括高斯、勒讓德、魏爾斯特拉斯、劉維爾等等。這個函式在現代數學分析中被深入研究，在機率論中也是無處不在，很多統計分布都和這個函式相關。Gamma 函式作為階乘的推廣，首先它也有和 Stirling 公式類似的一個結論：即當x取的數越大，Gamma 函式就越趨向於 Stirling 公式，所以當x足夠大時，可以用Stirling 公式來計算Gamma 函式值。

函式內容

伽瑪函式的對數的導數稱為Digamma函式，記為

。

Digamma函式同調和級數相關，其中

其中

是歐拉常數。

而對於任意x有

在複數範圍內，Digamma函式可以寫成

而Digamma函式的泰勒展開式為

其中函式 為黎曼zeta函式，是關於黎曼猜想的一個重要函式。

類似伽瑪函式，Digamma函式可以有漸進式：

積分形式

digamma值

函式套用

在Matlab中的套用

其表示N在N-1到0範圍內的整數階乘。

公式為：gamma(N)=(N-1)*(N-2)*...*2*1

例如：

gamma(6)=5*4*3*2*1

ans=120