伽瑪函式(gamma函式)

伽瑪函式

gamma函式一般指本詞條

伽瑪函式(Gamma函式),也叫歐拉第二積分,是階乘函式在實數與複數上擴展的一類函式。該函式在分析學、機率論偏微分方程和組合數學中有重要的套用。與之有密切聯繫的函式是貝塔函式,也叫第一類歐拉積分。可以用來快速計算同伽馬函式形式相類似的積分。

基本介紹

  • 中文名:伽瑪函式
  • 外文名:Gamma Function
  • 別名:歐拉第二積分
  • 所屬學科:微積分
函式簡介,歷史背景,函式性質,Stirling公式,函式內容,積分形式,digamma值,函式套用,

函式簡介

伽瑪函式(Gamma Function)作為階乘的延拓,是定義在複數範圍內的亞純函式,通常寫成
(1)在實數域上伽瑪函式定義為:
(2)在複數域上伽瑪函式定義為:
其中
,此定義可以用解析開拓原理拓展到整個複數域上,非正整數除外。
複平面上的Gamma 函式複平面上的Gamma 函式

(3)除了以上定義之外,伽馬函式公式還有另外一個寫法:
我們都知道
是一個常用積分結果,公式(3)可以用
來驗證。
(4)伽馬函式還可以定義為無窮乘積:
不完全Gamma函式

歷史背景

1728年,哥德巴赫在考慮數列插值的問題,通俗的說就是把數列的通項公式定義從整數集合延拓到實數集合,例如數列1,4,9,16.....可以用通項公式n2自然的表達,即便 n 為實數的時候,這個通項公式也是良好定義的。直觀的說也就是可以找到一條平滑的曲線y=x2通過所有的整數點(n,n2),從而可以把定義在整數集上的公式延拓到實數集合。一天哥德巴赫開始處理階乘序列1,2,6,24,120,720,...,我們可以計算2!,3!,是否可以計算2.5!呢?我們把最初的一些(n,n!)的點畫在坐標軸上,確實可以看到,容易畫出一條通過這些點的平滑曲線。
伽瑪函式
伽瑪函式
但是哥德巴赫無法解決階乘往實數集上延拓的這個問題,於是寫信請教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼爾·伯努利,由於歐拉當時和丹尼爾·伯努利在一塊,他也因此得知了這個問題。而歐拉於1729 年完美地解決了這個問題,由此導致了伽瑪 函式的誕生,當時歐拉只有22歲。

函式性質

1、通過分部積分的方法,可以推導出這個函式有如下的遞歸性質:
於是很容易證明,伽馬函式可以當成是階乘在實數集上的延拓,對於正整數n,具有如下性質:
2、與貝塔函式的關係:
3、在機率的研究中有一個重要的分布叫做伽瑪分布
其中
4、對
,有
這個公式稱為余元公式
由此可以推出以下重要的機率公式:
5、對於
,伽馬函式是嚴格凹函式
6、伽馬函式是亞純函式,在複平面上,除了零和負整數點以外,它全部解析,而伽馬函式在
處的留數

Stirling公式

Gamma 函式從它誕生開始就被許多數學家進行研究,包括高斯勒讓德魏爾斯特拉斯劉維爾等等。這個函式在現代數學分析中被深入研究,在機率論中也是無處不在,很多統計分布都和這個函式相關。Gamma 函式作為階乘的推廣,首先它也有和 Stirling 公式類似的一個結論:即當x取的數越大,Gamma 函式就越趨向於 Stirling 公式,所以當x足夠大時,可以用Stirling 公式來計算Gamma 函式值。

函式內容

伽瑪函式的對數的導數稱為Digamma函式,記為
Digamma函式同調和級數相關,其中
其中
而對於任意x有
在複數範圍內,Digamma函式可以寫成
而Digamma函式的泰勒展開式為
其中函式
為黎曼zeta函式,是關於黎曼猜想的一個重要函式。
類似伽瑪函式,Digamma函式可以有漸進式:

積分形式

digamma值

函式套用

在Matlab中的套用
其表示N在N-1到0範圍內的整數階乘。
公式為:gamma(N)=(N-1)*(N-2)*...*2*1
例如:
gamma(6)=5*4*3*2*1
ans=120

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