貝塔函式

在機率統計和其他套用學科中會經常用到伽瑪函式和貝塔函式，有的反常積分的計算最後也會歸結為貝塔函式或伽瑪函式。貝塔函式又稱為 B 函式，需要注意這裡 B 是大寫希臘字母Beta而不是大寫英文字母；貝塔函式又稱為第一類歐拉積分，而第二類歐拉積分就是大名鼎鼎的伽瑪函式Γ(x)。當P>0且Q>0時貝塔函式收斂。貝塔函式具有很好的性質，以及實用的遞推公式，另外需要注意的是伽瑪函式和貝塔函式之間的關係。

基本介紹

• 中文名：貝塔函式
• 外文名：Beta function 
• 別名：Beta函式，B函式，第一歐拉積分
• 基本性質：P>0,Q>0時連續，對稱性
• 重要關係：與Γ(x)、不完全Beta函式的關係
• 套用學科：機率統計、數學分析

貝塔函式簡介

在機率統計和其他套用學科中會經常用到伽瑪函式和貝塔函式，有的反常積分的計算最後也會歸結為貝塔函式或伽瑪函式。貝塔函式又稱為第一類歐拉積分，伽瑪函式也可稱為第二類歐拉積分。

對任意實數

稱該函式為貝塔函式，或 Beta 函式，B 函式。

當P<1 時，是以 為瑕點的無界函式反常積分；當 時，是以 為瑕點的無界函式反常積分，套用柯西判別法可證得當 時，這兩個無界函式反常積分都收斂，所以貝塔函式的定義域為 。

貝塔函式性質

連續性

貝塔函式在定義域 內連續。

證明：由於對任何 成立不等式 ，而積分 收斂，故由魏爾斯特拉斯 M 判別法可知貝塔函式在定義域 內連續。

對稱性

推導過程：

令 ，得： 。

遞推公式

（1） ；

（2） ；

（3） 。

近似公式

根據斯泰林公式，當P，Q比較大時，我們有近似公式 。

其他形式

（1）令 ，則有： 。

（2）令 ，則有 。

（3）考察 ，令 ，則有： ，

故有： 。

與其它函式

與伽瑪函式的關係

（1）對於任意的正實數 ，有關係表達式： 。

（2）當P、Q都是正整數時，我們可以將結果寫成 ，其中 是二項式係數。

（3） 。

與不完全貝塔函式關係

（1） ，很顯然當 x 取1時，結果就變成完全的貝塔函式了。

（2）不完全貝塔函式和對應貝塔函式的比值 構成了歸一化的貝塔函式。而它正好是滿足貝塔分布的隨機變數的分布函式。