P 進數域又稱局部數域，它是數域關於進絕對值的完備化。進數域的研究和代數數論的局部化方法，均始於K.亨澤爾1902年的工作。
基本介紹
- 中文名：P 進數域
- 外文名：p-adicnumber field
- 適用範圍：數理科學
有理數域上的 p 進賦值,套用,
有理數域上的 p 進賦值
(p-adic valuations of the rational number field)
有理數域上的 p 進賦值是由素數 p 確定在 Q 上的一種非阿基米德絕對值（賦值），若 0<ρ<1 ，對於每一個有理數 a，a 一定可以被寫為
，其中 (m,p)=1,(n,p)=1，則定義φ (a)=ρ。這樣定義的 φ 是 Q 上的一個賦值，稱為 Q 上的 p 進賦值。對於不同的 ρ ，用上法定義出的賦值是等價的，對於有理數域 Q 上的賦值有奧斯特洛夫斯基定理：有理數域 Q 上的賦值只能是淺顯賦值、p 進賦值、通常絕對值及它們等價的賦值。
Q 關於 p 進賦值的完全化域為 p 進（數）域，其中的元素稱為 p 進數。
套用
設為代數數域，
是域上的二次型（即
）。H.哈塞證明了，對於每個元素a∈K，方程
在中有解的充分必要條件是此方程在每個局部數域（P過的全部素理想，包括所謂“無限”素理想）中均有解。由於方程在中的可解性有良好的判別法，將所有的這些判別法匯集在一起，就得到代數數域中多元二次方程可解性的完整而切實可行的判別法。
由於H.哈塞在二次型和其他問題上做了許多這類工作，後人就把體現這種思想的數學命題稱為哈塞的局部-整體原則。採用局部化方法（賦值論和Adèle、Idèle語言）能夠統一處理代數數域和以有限域為常數域的代數函式域。A.韋伊於1967年寫的《基礎數論》一書是這種方法的集中反映，對現代數論的發展有重要影響。
