四元數域

概念

複數僅有兩個單位1與i，而四元數有四個單位1, i, j, k，一般的四元數的形式是

a+bi+cj+dk,

這裡，i, j, k是空間笛卡兒直角坐標系中三個坐標軸上的單位向量，類似於複數的虛數單位；a, b, c, d是實數，稱為四元素的係數。

兩個四元數相等被規定為對應係數分別相等。

四元數的加減法，和一般複數的加減法相同，也滿足交換律和結合律。四元數的乘法滿足結合律但並不滿足交換律，這是和實數、複數最顯著的不同，也正因為如此，四元數集不能構成數域，人們稱它為廣域。

四元素的研究，推動了向量代數的發展。英國著名的物理學家麥克斯韋是哈密爾頓的學生。他在掌握了四元數理論後，利用向量分析等工具建立起了著稱於世的電磁理論。

19世紀，數學家們證明了：對於實數域上的n維向量空間，當n>2時，無法定義乘法運算，使它成為域。這就是為什麼只稱二維向量的為複數，而不稱其他向量為複數的道理。當n>2時，n維向量空間不再稱為數域而稱為超複數系統。

基本的：

p=[1 2 3 4] q=[5 6 7 8]

p+q=[6 8 10 12]

2p=[2 4 6 8]

2個四元數的積：

p=[m,u] q=[n,v] pq=[mn-vu,nu+mv+(v×u)]

m,n是標量，u,v是向量

共軛四元數：

p=[n,v] ~p=[n,-v]

旋轉1個四元數( 或向量）：

p'=q(p)(~q)

旋轉向量的話：用向量取代p的向量部分，p的標量部分取零。

四元數到旋轉矩陣的變換：

| w2+x2-y2-z2 2xy-2wz 2xz+2wy |

| 2xy+2wz w2-x2+y2-z2 2yz-2wx |

| 2xz-2wy 2yz-2wx w2-x2-y2+z2 |

旋轉矩陣到四元數的變換

tr=m11+m22+m33

if(tr>0)

{

temp=1/2squrt(tr+1);

qw=0.25/temp qx=(m23-m32)temp qy=(m31-m13)temp qz=(m12-m21)temp

}else

{

m11,m22,m33中

if(m11 is greatest){

temp=1/2squrt(1+m11-m22+m33)

qw=0.25/temp qx=(m21+m12)temp qy=(m13+m31)temp qz=(m32-m23)temp}