有理分式域

有理分式域

有理分式域(field of rational fractions)是包含多元多項式環的最小域。數域P上全體有理分式,稱為數域P上的有理分式域,記為P(x)。

基本介紹

  • 中文名:有理分式域
  • 外文名:field of rational fractions
  • 所屬學科:數學
  • 所屬領域:初等代數
  • 相關概念:有理分式、多項式等
定義,有理分式,有理分式的運算,有理分式的加法,有理分式的乘法,有理分式的減法,有理分式的除法,有理分式的混合運算,

定義

有理分式域(field of rational fractions)是指包含多元多項式環的最小域。設
是數域P上的兩個n元多項式,
稱為P上的有理分式,亦稱有理函式。與一元多項式的有理分式一樣,可以同樣地定義多元多項式的有理分式的加法與乘法,而且也滿足交換律結合律分配律.。數域P上任意兩個有理分式的和、差、積、商(除式不為零)仍為P上的有理分式。因此,P上的全體有理分式的集合構成一個,稱為數域P上的有理分式域,記為

有理分式

有理分式(rational fraction)是兩多項式相除(作為除數的多項式次數不低於1)的一種表示式,含有除法且除式中含有變數字母的代數式稱為有理分式,簡稱分式。例如,對於變數字母
代數式
有理分式,但
是整式而不是有理分式,有理分式也可定義為一個多項式與一互素多項式的比
在一個分式中被除式與除式分別稱為這個分式的分子與分母。

有理分式的運算

和算術中的分數一樣,有理分式的運算分別定義如下:

有理分式的加法

兩個同分母有理分式
相加,只要把分子相加,分母不變:
對於異分母的有理分式相加,需要先進行通分,即把它們化成同分母的有理分式,然後再按同分母的有理分式的加法進行計算,運算的結果一般要化成既約分式:
和分數的加法一樣,有理分式的加法是滿足交換律和結合律的,即:

有理分式的乘法

兩個有理分式
相乘,把它們分母的積
做積的分母,把它們分子的積
做積的分子:
當有理分式的分子和分母都是多項式時,先要各自進行因式分解然後再乘,並進行約分。或各自先進行約分,然後再乘。
在乘方運算中,先把有理分式的分子和分母各自因式分解,然後根據乘方法則展開,再求它們的積。
和分數的乘法一樣,有理分式的乘法是滿足交換律結合律以及乘法關於加法的分配律的。

有理分式的減法

對於任何有理分式
來說,必定存在一個有理分式
,滿足條件
兩個有理分式相減,如果是同分母,只要把分子相減,分母不變;如果是異分母,需要先進行通分,化成同分母的有理分式,然後再按同分母的有理分式相減計算。
在分數里可以把一個假分數化成帶分數。例如把
化成
。同樣,如果一個有理分式是假分式,也總可以把它化成帶分式,使所得的分式中分子的次數低於分母的次數,這樣,在運算過程中,較為簡便。

有理分式的除法

有理分式的除法和有理分式的減法完全類似。有理分式
中,P不是零多項式, 必定存在一個有理分式
,滿足下列條件:

有理分式的混合運算

有理分式的計算題里,如果有加、減、乘、除的混合運算,和在分數里做混合運算一樣,也是先乘除而後加減。

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