希爾伯特不可約性定理

希爾伯特不可約性定理(Hilbert theorem of irreducibility)是判別多元多項式不可約性的一種方法。設f(x₁，x₂，…，x_n)是數域P上的n元多項式，若f在數域P上不可約，則對於任意的m (0<m<n)，必存在α_m+1，…，α_n∈P，使f(x₁，x₂，…，x_m，α_m+1，…，α_n)為數域P上的m元不可約多項式。

基本介紹

• 中文名：希爾伯特不可約性定理
• 外文名：Hilbert theorem of irreducibility
• 領域：數學
• 性質：判別多元多項式不可約性的方法
• 提出者：希爾伯特
• 理論：伽羅瓦理論

概念

希爾伯特不可約性定理(Hilbert theorem of irreducibility)是在伽羅瓦理論中占有重要地位的一個定理。對有理數域Q上兩組不定元t₁，t₂，…，t_n;x₁，x₂，…，x_s的多項式環Q[t₁，t₂，…，t_n;x₁，x₂，…，x_s]，希爾伯特(Hilbert，D.)證明：若

是不可約多項式，則存在無限多組(c₁，c₂，…，c_n)∈Qⁿ，使得f(c₁，c₂，…，c_n;x₁，x₂，…，x_s)為Q[x₁，x₂，…，x_s]中的不可約多項式。這個定理稱為希爾伯特不可約性定理。除有理數域外，這個定理對另外一些域也成立。

對任意域F及F上兩組不定元t₁，t₂，…，t_n;x₁，x₂，…，x_s，設f₁，f₂，…，f_m是F(t₁，t₂，…，t_n)[x₁，x₂，…，x_s]中的不可約多項式，g∈F[t₁，t₂，…，t_n]是非零多項式，所有使得g(a₁，a₂，…，a_n)≠0，f_i(a₁，a₂，…，a_n;x₁，x₂，…，x_s)(i=1，2，…，m)有定義且在F[x₁，x₂，…，x_s]中不可約的(a₁，a₂，…，a_n)的集合，是F的子集，稱為F的希爾伯特子集，有時也稱為F的希爾伯特集，記為H_F(f₁，f₂，…，f_m;g)。若F的希爾伯特集非空，則稱F是希爾伯特域。希爾伯特域必是無限域，而且它的任意有限可分擴張仍然是希爾伯特域。特別地，整體域和一個無限域上幾個變元的函式域是希爾伯特域，它們稱為經典希爾伯特域。若不可約多項式：

關於變元x_i是可分的且首1的，集合：

稱為F的可分希爾伯特集。若域F的形式為H_F(f)的可分希伯特集非空，則稱F為可分的希爾伯特域。

伽羅瓦理論

設K是一個域，設Aut(K)是K的所有自同構做成的集合，在映射複合之下Aut(K)做成一個群，稱為K的全體自同構群。設F是K的子域，令G (K/F) ={σ∈Aut(K)|σ(a)=a，a∈F}，它是Aut(K)的子群，稱為K的F-自同構群。設G是Aut(K)的一個子群，令K= {a∈K|σ(a)=a，σ∈G}，它是K的一個子域，稱為群G的固定域。G(K/F)也記作GK(F)。設K/F是一個代數擴張，下面3個條件等價： (1) K是F的可分正規擴域。(2)F=K_K(F)。(3)存在G_K(F)的子群G，使得F=KG。滿足這些條件的F的擴域K稱為F的一個伽羅瓦擴域，K/F稱為伽羅瓦擴張，G_K(F)=G(K/F)稱為K/F的伽羅瓦解。K是F上的有限次伽羅瓦擴域若且唯若K是F上一切可分的不可約多項式乘積的分裂域。設E是伽羅瓦擴張K/F的中間域，則K/E也是伽羅瓦擴張。設K/F是有限次伽羅瓦擴張，G=G(K/F)是K/F的伽羅瓦群，對於G的子群H，令E=K是K的固定域，則H↔K給出了G的所有子群與K/F的所有中間域之間的一一對應。這個結論稱為伽羅瓦理論的基本定理。設K/F是一個域擴張，如果存在K/F的一串中間域F=F₀，F₁，…，F_r=K：使得K，F_i=F_i-1(a_i)，a_ii∈F_i-1，i=1，…，r，其中n_i是一個不能被CharF整除的正整數。設F是一個域，f(x)∈f[x]，方程f(x)=0稱為在F上可以用根號解，如果存在F的一個根號擴域，使得f(x)的全部根都在K中。設K是一個域，t₁，…，t_n是K上的無關未定元，令F=K(t₁，…，t_n)是K上t₁，…，t_n的有理分式域，多項式f(x)=x-t₁x+t₂x-…+(-1)t_n∈F[x]稱為K上n次一般方程，設K是一個特徵為0的域，則K上n次一般方程在F=K(t₁，…，t_n)上可以用根號解若且唯若n≤4。利用伽羅瓦理論基本定理還可以證明x-4x+2=0等方程在有理數域上不能用根號解。

可分擴張

一種重要的域擴張。其特徵為p的域F的任意擴張K/F，Ω是K的代數閉包，若K與：

在F上是線性分離的，則稱K/F是可分擴張。當F是完備域時，F上任何擴張都是可分擴張。當K/F是代數擴張時，若α∈K在F上的最小多項式是可分多項式，則稱α是(F上的)可分代數元(簡稱F上可分元)。若K中每個元均為F上可分元，則稱K是F上可分擴張。若K/F有一個超越基S，使得K是可分的，則稱S是可分超越基。若K/F有這樣一個可分超越基，則稱此擴張K/F是可分生成的。完備域上的有限生成擴張均為可分生成擴張。可分擴張具有傳遞性。當K/F是有限生成，而且是可分擴張時，K/F是可分生成的。反之，可分生成的擴張必然是可分擴張。

希爾伯特

德國數學家。出生於普魯士的哥尼斯堡。1882—1885年在哥尼斯堡大學學習。在學期間，受到著名數學家雅可比、維爾斯特拉斯、費·紐曼、韋伯等人的指導，大大激發了數學興趣和才能。他的兩上好友A·胡爾威茨和閔可夫斯基對他數學方面的成長也產生過巨大的影響。 1885年，他因不變式理論方面的論文獲博士學位。 1892年任母校的數學副教授。1895年由F·克萊因的提議擔任了哥廷根大學的教授。哥廷根大學是具有優秀數學傳統的學府，高斯、黎曼等人曾在這裡工作。希爾伯特在這裡團結了一大批當代的著名數學家和物理學家，使哥廷根成了20世紀前期世界數學的中心與理論物理學家聚會的場所。他逝世的前一年被柏林科學院授予榮譽院士的稱號。希爾伯特不愧是本世紀領頭的數學家。他的數學興趣十分廣泛，並且所到之處都留下了光輝足跡。早期研究不變式理論。採用直接的、非算法的方法證明了果爾丹證明的代數不變式整基有限完備系的存在定理，對後來的抽象代數的發展起了推動作用。重新整理了歐幾里得幾何的公理體系，於1899年發表了 《幾何基礎》一書，把歐幾里得幾何整理為從公理出發的純粹演繹系統，並把注意力轉移到公理系統的邏輯結構，成為近代公理化思想的代表作。他提出的狄里克萊原理以及對積分方程、變分法、華林問題的研究，在數學史上都很有意義。晚年致力於數學基礎問題，把公理系統的無矛盾性看成數學可靠性的標準，是數學基礎中形式主義學派的代表人物。1990年他在巴黎國際數學家代表會上的講演中提出23個數學問題，概括了19世紀數學發展中暴露的主要問題，後來稱為希爾伯特問題。對西方的數學研究有較大的影響。希爾伯特為後人留下的著作有《數論報告》、《線性積分方程一般理論基礎》、《幾何基礎》，以及其他論文3卷，還有與別人合寫的 《數理邏輯基礎》、《數學物理方法》、《直觀幾何學》、《數學基礎》。