厄米特矩陣

定義

將一矩陣A的行與列互換，並取各矩陣元素的共軛複數，得一新矩陣，稱為厄米特共軛，以A⁺表之。此厄米特共軛有(AB)⁺=B⁺A⁺的性質。若一矩陣H，其厄米特共軛矩陣H⁺等於本身H，即H⁺=H，則矩陣H稱為厄米特矩陣。

n階複方陣A的對稱單元互為共軛，即A的共軛轉置矩陣等於它本身，則A是厄米特矩陣(Hermitian Matrix)。

例如：矩陣

， A就是一個自共軛矩陣。

由定義得知，厄米特矩陣的對角線上各元素必為實數。通常厄米特矩陣並不對稱，除非所有元素均為實數。厄米特矩陣的特殊性質是其本徵值一定是實數。

在物理系統中，其可觀察的物理量(例如坐標、動量、能量等等)，在量子力學中可視為一算符，此算符有對應的本徵向量和本徵值，算符所對應的本徵向量代表物理系統的狀態，物理量發的結果就是本徵值。因此，如用矩陣表示算符，則一定是厄米特矩陣，因為厄米特矩陣的本徵值為實數，所以也是可觀察的量。

顯然，埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數的，其特徵值也是實數。對於只包含實數元素的矩陣（實矩陣），如果它是對稱陣，即所有元素關於主對角線對稱，那么它也是埃爾米特矩陣。也就是說，實對稱矩陣是埃爾米特矩陣的特例。

若A和B是埃爾米特矩陣，那么它們的和A+B也是埃爾米特矩陣；而只有在A和B滿足交換性（即AB=BA）時，它們的積才是埃爾米特矩陣。

可逆的埃爾米特矩陣A的逆矩陣A仍然是埃爾米特矩陣。

如果A是埃爾米特矩陣，對於正整數n，

是埃爾米特矩陣。

方陣C與其共軛轉置的和是埃爾米特矩陣。

任意方陣C都可以用一個埃爾米特矩陣A與一個斜埃爾米特矩陣B的和表示。

埃爾米特矩陣是正規矩陣，因此埃爾米特矩陣可被酉對角化，而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味著埃爾米特矩陣的特徵值都是實的，而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交，因此可以在這些特徵向量中找出一組C的正交基。

n階埃爾米特矩陣的元素構成維數為

的實向量空間，因為主對角線上的元素有一個自由度，而主對角線之外的元素有兩個自由度。

如果埃爾米特矩陣的特徵值都是正數，那么這個矩陣是正定矩陣，若它們是非負的，則這個矩陣是半正定矩陣。

（1）n階厄米特矩陣A為正定（半正定）矩陣的充要條件是A的所有特徵值大於（大於等於）0。

（2）若A是n階厄米特矩陣，其特徵值對角陣為V，則存在一個酉矩陣U，使AU=UV。

（3）若A是n階厄米特矩陣，其弗羅伯尼範數的平方等於其所有特徵值的平方和。

（4）主對角線元素皆為實數的埃爾米特矩陣的特徵值均為實數, 斜埃爾米特矩陣的特徵值為零或純虛數。

對稱矩陣與尼米特矩陣是實踐中遇到比較多的矩陣。例如：電路中的許多矩陣，象電阻性網路中迴路方程的阻抗矩陣圖論中無向圖的鄰接矩陣等。這兩種矩陣的性質與有關定理有許多共同之處。