基本介紹
- 中文名：自然常數
- 外文名：e
- 本質：一個無限不循環數,超越數
- 大小：約為2.718281828
起源,收斂性證明,另外形式,計算方法,套用,
起源
e，作為數學常數，是自然對數函式的底數。有時稱它為歐拉數（Euler number），以瑞士數學家歐拉命名；也有個較鮮見的名字納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾 (John Napier)引進對數。它就像圓周率π和虛數單位i，e是數學中最重要的常數之一。
它的其中一個定義是
，其數值約為（小數點後100位）：“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”。
第一次提到常數e，是約翰·納皮爾(John Napier)於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德(William Oughtred)製作。第一次把e看為常數的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。
已知的第一次用到常數e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用e來表示這常數；而e第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》(Mechanica)。雖然以後也有研究者用字母c表示，但e較常用，終於成為標準。
用e表示的確實原因不明，但可能因為e是“指數”(exponential)一字的首字母。另一看法則稱a，b，c和d有其他經常用途，而e是第一個可用字母。不過，歐拉選這個字母的原因，不太可能是因為這是他自己名字Euler的首字母，因為他是個很謙虛的人，總是恰當地肯定他人的工作。
以e為底的指數函式的重要方面在於它的函式與其導數相等。e是無理數和超越數（見林德曼—魏爾施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。這是第一個獲證的超越數，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特(Charles Hermite)於1873年證明。
其實，
融合e，π的的歐拉公式
，也是超越數e的數學價值的最高體現。
自然常數一般為公式中乘方的底數和對數的底。為什麼會這樣，主要取決於它的來歷。
自然常數的來法比圓周率簡單多了。它就是當
時函式
值的極限。
即： 。
同時，它也等於
。注意，
。
因為e=2.7182818284... ，極為接近循環小數2.71828(1828循環)，那就把循環小數化為分數271801/99990，所以可以用271801/99990表示為e最接近的有理數約率，精確度高達99.9999999(7個9)% 。
收斂性證明
由均值不等式，有
即序列
單調上升；另一方面，我們嘗試證明
。即要證
，由均值不等式得
又明顯有
，故 成立，所以 成立。
故 單調上升有上界，即 收斂。
另外形式
證法1
令
，易知
則已知 收斂於
，即
即
所以，
，不妨設
，則有
即 ，有
又易知對固定的
和
，有
即
，當 時，有
，即
即
註：由該證法可以看出，對任意正數序列
，若存在一個收斂數列
，使得
則 收斂，且極限為
.
證法2
欲證
，即要證
則有
故有
證畢.
計算方法
泰勒公式展開
取Peano形式的餘項
令上式
，有
故有
即得
由此就可根據上式求解出
的具體數值
限制精度
但是在套用中我們需要的是 的具有某位精度的數值，比如說要求 的小數點前2000位的準確數值。此時Peano餘項不夠用了。我們換一個餘項，例如——Lagrange餘項：
所以
便得 的小數點後t位的準確數值
套用
自然常數e在科學上有廣泛套用。以下舉幾例：
1：e對於自然數的特殊意義
所有大於2的2n形式的偶數存在以
為中心的共軛奇數組，每一組的和均為2n,而且至少存在一組是共軛素數
可以說
是素數的中心軸，
只是奇數的中心軸。
2：素數定理
自然常數也和質數分布有關。有某個自然數a，則比它小的質數就大約有
個。在a較小時，結果不太正確。但是隨著a的增大，這個定理會越來越精確。這個定理叫素數定理，由高斯發現。
3：完全率
設完全圖
內的路徑總數為W，哈密頓路總數為h，則W/h=e，此規律更證明了e並非故意構造的，e甚至也可以稱呼為是一個完全率。與圓周率有一定的相類似性，好像極限完全圖就是圖論中的圓形，哈密頓路就是直徑似的，自然常數的含義是極限完全圖裡的路徑總數和哈密頓路總數之比。
4：雙曲函式
雙曲函式是自然常數價值的重要體現。它可以解決很多問題。如：
阻力落體
解：
小石塊遵循的運動方程為
mdv/dt=mg―μv2
（1）
這是Riccati方程，它可以精確求解。
依標準變換方式，設
v=（m/μ）/（z′/z） （2）
代入（1）式，再作化簡，有
z'' ―（gμ /m)z=0 （3）
（3）式的通解是
z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t）（4）
其中，C1和C2是任意常數。
由於小石塊在初始時刻是靜止的，初始條件為
v（0）=0 （5）
這等價於
z′（0）=0 （6）
因此，容易定出
C2=C1 （7）
將（7）式代入（4）式，再將（4）式代入（2）式，就可得
滿足初始條件的解
v=√mg/μ tanh（√μg/m t) （8）
我們可以作一下定性的分析。小石塊初始時刻靜止。因此，隨著時間增加，開始時小石塊速度較小，小石塊所受的阻力影響較小，此時，小石塊與不受阻力的自由落體運動情況相類似，小石塊加速度幾乎是常數。反映在圖1中，起始段t和v的關係是直線。當小石塊速度很大時，重力相對於阻力來說可以忽略，阻力快速增加到很大的數值，導致小石塊的速度幾乎不再增加。此時，小石塊加速度接近零，v幾乎不隨時間而變化。一段時間後，v相不多是一平行於t軸的直線。
粒子運動
一電荷量為q、靜質量為m0的粒子從原點出發，在一均勻電場E中運動，E=Eez沿z軸方向，粒子的初速度沿y軸方向，試證明此粒子的軌跡為[4]
x=（W0/qE）[cosh（qEy/p0c）―1] （1）
式中p0是粒子出發時動量的值，W0是它出發時的能量。
解：
帶有電荷量q的粒子在電磁場E和B中的相對論性的運動方程為
dp/dt=q（E+v×B） （2）
式中v是粒子的速度，p是粒子的動量
p=mv=mv0/√1－v2/c2 （3）
本題運動方程的分量表示式為
dpx=qE
dpy=0
dpz=0 （4）
解之，有
px =qEt+C1
py = C2
pz = C3 （5）
代入t=0時初始條件
px（0）=0
py（0）= p0
pz（0）= 0 （6）
定出積分常數後，可知
px=qEt
py= p0
pz= 0 （7）
W=mc2
=√p2c2+m02c4
=√（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4
=√q2E2 c2t2+W02 （8）
因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 （9）
積分得
x=∫[qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 ]dt
= [√q2E2 c2t2+W02 －W02]/qE （10）
又由（7）式得
dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 （11）
積分得
y=∫[p0c2 /√q2E2 c2t2+W02 ]dt
=（p0c /qE）arsh（qEct/W0） （12）
或 （qEct/W0）= sinh （qEy/ p0c） （13）
在（51）式和（54）式中消去t，有
x=（W0/qE）[√1+ sinh2（qEy/ p0c）－1 ] （14）
利用恆等變換公式
cosh2x―sinh2x=1 （15）
（55）式可以寫成
x=（W0/qE）[cosh2（qEy/ p0c）－1 ] （16）
（16）式是一種懸鏈線。
討論：
因雙曲餘弦泰勒級數展開式是
cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… （17）
當v/c →0時，保留前2項，得
x=（qE/2m v02）y2 （18）
