《CAD中綜合性樣條的理論及套用研究》是依託浙江大學，由汪國昭擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：CAD中綜合性樣條的理論及套用研究
- 依託單位：浙江大學
- 項目負責人：汪國昭
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究綜合性樣條的理論與套用。綜合性樣條是近年來才出現的樣條的新品種，其特點是兼有多樣性與簡便性。多樣性指一條樣條曲線上有多種類型的曲線段存在；簡便性指樣條曲線的求導要簡單，計算要穩定、方便。NURBS具有多樣性，但不具備簡便性；B樣條雖有簡便性，但缺少多樣性。相比之下，綜合性樣條的優點是突出的。本項目的研究難點，在於綜合性樣條定義空間的構造,無現成研究樣條的方法可循。為此，本項目首先要創造新方法，構造該空間。該空間要具有聯合性與可變性。聯合性要求該空間能融合多個空間於一個整體；可變性能使綜合性樣條曲線曲面可以從其中的一個空間變到另外一個空間。其次要在該空間中構造具有權性，局部支撐性的B基。該基應具有可變性。通過可變性統一多樣性和簡便性，最後，要研究綜合性樣條曲線曲面的性質，發揚多樣性、利用簡便性，建立富有特色的理論體系，要設計高效算法，使其在CAD和逆向工程套用中發揮巨大的作用。
結題摘要
本項目圍繞綜合性樣條的特性，對CAD中的曲線曲面進行了深入而廣泛的研究，發展了若干經典理論，提出了新方法。 在曲線研究方面，注重發揮綜合性樣條的多樣性和簡便性的特性，也重視發掘它的幾何特性。首先，吸取了Lengdre理論的精華，把以Bernstein函式為基礎的正交多項式的構造方法，加以深化，並將其推廣到綜合性樣條，用作構造以綜合性的UE-Bézier基為基礎的擬Lengdre正交多項式；再推廣到B樣條空間，用作構造以樣條函式為基礎的具有顯式表示的一組Lengdre型的正交基，從而豐富了Lengdre方法的內容。其次，從提取多項式全正性的幾何要素著手，運用幾何方法，發現了NUAT-B樣條、綜合性UE樣條都具有全正性，進而具有近乎嚴格的全正性，並給出了簡單、直觀、初等的證明方法，從而擴大了全正基的範圍，充實了全正性的理論。用變次數B樣條的觀點，審視C-B樣條和綜合性UE樣條曲線的升階過程，提出了升階運算元，由此克服升階不能分段進行的困難，揭示其間隱含幾何意義，解決了升階矩陣的二對角隨機矩陣的分解難題，為矩陣的分解提供了直觀的有效的幾何方法等。 在曲面研究方面，著重研究了用非多項式的函式構造三角域上曲面時所需要的定義空間，在三角域上建立多類型的三角曲面片理論，以改變僅用二元多項式表示Bézier三角曲面片的局面。首先，把定義P-Bézier基函式的一元三角函式線性空間，推廣到二元函式，構造二元的線性三角函式的空間，建立具有權性、對稱性、邊界性的二元線性擬P-Bézier型的基函式。由此，定義邊界是P-Bézier曲線的擬P-Bézier型的三角曲面，使得能用控制格線的方法表示三角域上由三角函式刻劃的曲面片。接著，把四階C-Bézier基的一元混合函式定義空間，也推廣到二元混合函式，構造了一組與二元三次Bernstein多項式有相同的權性，端點性的基函式，從而定義了三角域上的四階擬Bézier曲面，可以插值角點，無需用有理的形式，以圓弧作邊界，克服了Bézier三角曲面的不能表示圓弧邊界不足。又進一步為了球的表示，將二元線性擬P-Bézier型基發展為P-Bézier型的三角域上的五階的P-Bézier基，可以用三角形的控制格線表示球面片和整個球。 此外，在極小曲面、PH曲線、變次數樣條顯式表示、疊代逼近算法、圖像處理、圖形模擬等方面開展了研究，取得了不少成果。
