龐加萊對偶

龐加萊對偶是1993年公布的數學名詞。

基本介紹

• 中文名：龐加萊對偶
• 外文名：Poincare duality
• 所屬學科：代數拓撲學
• 公布時間：1993年

定義

設M為光滑定向閉流形或n維R定向緊流形，對所有i與R模π，均有自然龐加萊同構

D:H(M;π)→H_n-p(M;π)

特別地龐加萊對偶定理蘊含著一個非退化雙線性映射

H_i(M)×H_n-i(M)→ℤ

稱為龐加萊對偶。

性質

同構可定義為D(α)=α⋂z，其中z為R基本同調類。

若π=R，<α⋃β,z>=<β,α⋂z>=<β,D(α)>，即D與⋂對偶。

設T_p⊂H(M)為其撓子群，若α∈H(M)投射到自由阿貝爾群H(M)/T_p，則存在a∈H_p(M)，滿足<α,a>=1。由龐加萊對偶，存在β∈H(M)滿足β⋂z=a，則<β⋃α,z>=<α,β⋂z>=1

例子

設M為n維ℤ定向緊連通流形，D:H(M)→H_n-p(M)。當p=0，有H_n(M)≅ℤ，其生成元為基本同調類z，當p=n，H(M)≅ℤ，其生成元ξ與z對偶，即<ξ,z>=1。

公布時間

1993年，經全國科學技術名詞審定委員會審定發布。

出處

《數學名詞》第一版。