龍格庫塔法

數值分析中，龍格－庫塔法（Runge-Kutta methods）是用於非線性常微分方程的解的重要的一類隱式或顯式疊代法。這些技術由數學家卡爾·龍格和馬丁·威爾海姆·庫塔於1900年左右發明。

龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法是一種在工程上套用廣泛的高精度單步算法，其中包括著名的歐拉法，用於數值求解微分方程。由於此算法精度高，採取措施對誤差進行抑制，所以其實現原理也較複雜。

基本介紹

• 中文名：龍格庫塔法
• 外文名：Runge-Kutta methods
• 類別：高精度單步算法
• 特點：精度高
• 提出者：卡爾·龍格和馬丁·威爾海姆·庫塔
• 提出時間：1900年左右
• 套用學科：數學

經典四階法

在各種龍格－庫塔法當中有一個方法十分常用，以至於經常被稱為“RK4”或者就是“龍格－庫塔法”。該方法主要是在已知方程導數和初值信息，利用計算機仿真時套用，省去求解微分方程的複雜過程。

令初值問題表述如下。

則，對於該問題的RK4由如下方程給出：

其中

這樣，下一個值（y_n+1）由現在的值（y_n）加上時間間隔（h）和一個估算的斜率的乘積所決定。該斜率是以下斜率的加權平均：

• k₁是時間段開始時的斜率；
• k₂是時間段中點的斜率，通過歐拉法採用斜率k₁來決定y在點t_n+h/2的值；
• k₃也是中點的斜率，但是這次採用斜率k₂決定y值；
• k₄是時間段終點的斜率，其y值用k₃決定。

當四個斜率取平均時，中點的斜率有更大的權值：

RK4法是四階方法，也就是說每步的誤差是h階，而總積累誤差為h階。

注意上述公式對於標量或者向量函式（y可以是向量）都適用。

顯式法

顯式龍格－庫塔法是上述RK4法的一個推廣。它由下式給出

其中

（注意：上述方程在不同著述中有不同但卻等價的定義）。

要給定一個特定的方法，必須提供整數s（級數），以及係數a_ij（對於1 ≤j<i≤s）,b_i（對於i= 1, 2, ...,s）和c_i（對於i= 2, 3, ...,s）。

龍格庫塔法是自洽的，如果

如果要求方法的精度為p階，即截斷誤差為O(h)的，則還有相應的條件。這些可以從截斷誤差本身的定義中導出。例如，一個2級2階方法要求b₁+b₂= 1,b₂c₂= 1/2, 以及b₂a₂₁= 1/2。

例子

RK4法處於這個框架之內。其表為：

0
1/2	1/2
1/2	0	1/2
1	0	0	1
	1/6	1/3	1/3	1/6

然而，最簡單的龍格-庫塔法是（更早發現的）歐拉方法，其公式為。這是唯一自洽的一級顯式龍格庫塔方法。相應的表為：

0
	1

隱式方法

以上提及的顯式龍格庫塔法一般來講不適用於求解剛性方程。這是因為顯式龍格庫塔方法的穩定區域被局限在一個特定的區域裡。顯式龍格庫塔方法的這種缺陷使得人們開始研究隱式龍格庫塔方法，一般而言，隱式龍格庫塔方法具有以下形式：

其中

在顯式龍格庫塔方法的框架里，定義參數的矩陣是一個下三角矩陣，而隱式龍格庫塔方法並沒有這個性質，這是兩個方法最直觀的區別：

需要注意的是，與顯式龍格庫塔方法不同，隱式龍格庫塔方法在每一步的計算里需要求解一個線性方程組，這相應的增加了計算的成本。

程式

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#define f(x,y) (-1*(x)*(y)*(y))

void main(void)

{

double a,b,x0,y0,k1,k2,k3,k4,h;

int n,i;

printf("input a,b,x0,y0,n:");

scanf("%lf%lf%lf%lf%d",&a,&b,&x0,&y0,&n);

printf("x0\ty0\tk1\tk2\tk3\tk4\n");

for(h=(b-a)/n,i=0;i!=n;i++)

{

k1=f(x0,y0);

k2=f(x0+h/2,y0+k1*h/2);

k3=f(x0+h/2,y0+k2*h/2);

k4=f(x0+h,y0+h*k3);

printf("%lf\t%lf\t",x0,y0);

printf("%lf\t%lf\t",k1,k2);

printf("%lf\t%lf\n",k3,k4);

y0+=h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

x0+=h;

}

printf("xn=%lf\tyn=%lf\n",x0,y0);

}

運行結果：

input a,b,x0,y0,n:0 5 0 2 20

x0 y0 k1 k2 k3 k4

0.000000 2.000000 -0.000000 -0.500000 -0.469238

-0.886131

0.250000 1.882308 -0.885771 -1.176945 -1.129082

-1.280060

0.500000 1.599896 -1.279834 -1.295851 -1.292250

-1.222728

0.750000 1.279948 -1.228700 -1.110102 -1.139515

-0.990162

1.000000 1.000027 -1.000054 -0.861368 -0.895837

-0.752852

1.250000 0.780556 -0.761584 -0.645858 -0.673410

-0.562189

1.500000 0.615459 -0.568185 -0.481668 -0.500993

-0.420537

1.750000 0.492374 -0.424257 -0.361915 -0.374868

-0.317855

2.000000 0.400054 -0.320087 -0.275466 -0.284067

-0.243598

2.250000 0.329940 -0.244935 -0.212786 -0.218538

-0.189482

2.500000 0.275895 -0.190295 -0.166841 -0.170744

-0.149563

2.750000 0.233602 -0.150068 -0.132704 -0.135399

-0.119703

3.000000 0.200020 -0.120024 -0.106973 -0.108868

-0.097048

3.250000 0.172989 -0.097256 -0.087300 -0.088657

-0.079618

3.500000 0.150956 -0.079757 -0.072054 -0.073042

-0.066030

3.750000 0.132790 -0.066124 -0.060087 -0.060818

-0.055305

4.000000 0.117655 -0.055371 -0.050580 -0.051129

-0.046743

4.250000 0.104924 -0.046789 -0.042945 -0.043363

-0.039833

4.500000 0.094123 -0.039866 -0.036750 -0.037072

-0.034202

4.750000 0.084885 -0.034226 -0.031675 -0.031926

-0.029571

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